Einem Dreieck einbeschriebene Kegelschnitte, behandelt mit komplexen Zählen. (Q2578312)

Ist ein Kegelschnitt einem Dreieck einbeschrieben, so sind seine Brennpunkte isogonale Gegenpunkte (oder, wie sie auch genannt werden, inverse Punkte). Umgekehrt kann man zu jedem Paar isogonaler Gegenpunkte eines Dreiecks einen Kegelschnitt finden, der sie zu Brennpunkten hat und dem Dreieck einbeschrieben ist. Diese bekannte Eigenschaft der einbeschriebenen Kegelschnitte benutzt Verf. zu ihrer Darstellung durch komplexe Zahlen. Bilden \(z_1\), \(z_2\), \(z_3\) in der Ebene der komplexen Zahlen ein nicht ausgeartetes Dreieck, und sind \(z'\), \(z''\) zwei beliebige komplexe Zahlen, so gilt die Teilbruchzerlegung \[ \frac {(z-z')\,(z-z'')}{(z-z_1)\,(z-z_2)\,(z-z_3)} = \sum _{k=1}^3 \frac {\beta _k}{z-z_k}\;\;\text{mit}\;\;\beta _1=\frac {(z_1-z')\,(z_2-z')}{(z_1-z_2)\,(z_1-z_3)},\cdots \] Die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß \(z'\), \(z''\) isogonale Gegenpunkte des Dreiecks \(z_1z_2z_3\) sind, ist, daß alle \(\beta _k\) reell sind. Setzt man \(\alpha _k =\) const \(\cdot \beta _k\), so erhält man den Satz: Die Wurzeln der Gleichung \(\sum _{k=1}^3 \frac {\alpha _k}{z-z_k}=0\) sind dann und nur dann die Brennpunkte eines bestimmten, dem Dreieck \(z_1z_2z_3\) einbeschriebenen Kegelschnitts, wenn alle Verhältnisse \(\alpha _j : \alpha _k\) (\(j,k =1,2,3\)) reell sind. Die \(\alpha _k\) bestimmen die Natur des Kegelschnitts. Der Kegelschnitt ist eine Ellipse, Parabel oder Hyperbel, je nachdem \(\alpha _1\alpha _2\alpha _3\,(\alpha _1+\alpha _2+\alpha _3)\gtreqqless 0\) ist. Diese Darstellung benutzt Verf. zur Untersuchung der Eigenschaften der einbeschriebenen Kegelschnitte.