Intorno alla quartica di Klein. (Q2578329)

Beweis einiger Eigenschaften der Kleinschen Kurve 4. Ordnung: \[ f\equiv xy^3 + yz^3 + zx^3 = 0. \] Man weiß schon, daß die Kovariante \(S\) dieser Kurve mit der Kurve \(f\) selbst zusammenfällt. Die Kovariante \(T\) ist nichts anderes als die Hessesche Kurve von \(f = 0\): \[ H\equiv x^5y+y^5z+z^5x-5\,x^2y^2z^2 =0. \] Die Geraden, die \(f = 0\) in vier äquianharmonischen oder in vier harmonischen Punkten treffen, erfüllen die zwei Enveloppen: \[ uv^3+vw^3+wu^3=0;\qquad u^5v+v^5w+w^5u-5\,u^2v^2w^2 =0, \] die die reziproken Polaren von \(f=0\) und \(H = 0\) in bezug auf den Kegelschnitt \(x^2+y^2+z^2 =0\) sind. Man sieht daraus z. B.: Die 24 Wendepunkte von \(f = 0\) sind Spitzen für die Steinersche Kurve von \(f = 0\); die vier Geraden, die von einem Punkte von \(f = 0\) ausgehen und \(f = 0\) in vier äquianharmonischen Punkten treffen, bilden selbst eine äquianharmonische Gruppe. Schließlich die Bemerkung, daß \(f = 0\) durch die quadratische Transformation \(x : y : z= yz : zx : xy\) in Aie bemerkenswerte Kurve 5. Ordnung: \[ x^2z^3+z^2y^3+y^2x^3=0 \] verwandelt wird.