Sur les mouvements d'un espace à quatre dimensions. II. (Q2578364)

In einer früheren Abhandlung (Acad. Belgique, Bull. Cl. Sci. (5) 27 (1941) 650-665; F. d. M. 67, 592 (JFM 67.0592.*)) hat Verf. die Gruppe der Homographien \(H\) eines drei dimensionalen Raumes \(\sigma\) betrachtet, die mit einer gegebenen biaxialen elliptischen harmonischen Homographie \(\varOmega_0\) vertauschbar sind. Als Anwendung betrachtet er hier diejenigen Homographien eines vierdimensionalen Raumes, die eine Doppel\-hyperebene \(\sigma\) aufweisen und auf \(\sigma\) eine Homographie wie \(H\) induzieren. Solche Homographien bilden ebenfalls eine Gruppe \(G\); wenn \(\sigma\) und \(\varOmega_0\) als absolutes Gebilde des vierdimensionalen Raumes angenommen werden, so fällt \(G\) mit der Bewegungs\-gruppe zusammen. Einfache synthetische Betrachtungen zeigen, daß \(G\) durch fol\-gende drei Arten von Homographien erzeugt werden kann: 1) Homographien, die auf \(\sigma\) die gegebene Homographie \(\varOmega_0\) induzieren und einen nicht auf \(\sigma\) liegenden Doppelpunkt aufweisen; 2) biaxiale harmonische Homographien, deren Achsen eine Gerade \(a_2\) von \(\sigma\) und eine Ebene \(\alpha\) sind mit der Bedingung, daß die Geraden \(a_2\) und \(a_1 =\sigma\alpha\) sich in \(\varOmega_0\) entsprechen; 3) Homographien, die in \(\sigma\) eine Gerade \(a_2\) als Ort von Doppelpunkten besitzen und eine Doppelebene \(\alpha\) noch aufweisen mit den Bedingungen, daß die Geraden \(a_2\) und \(a_1=\sigma\alpha\) sich in \(\varOmega_2\) entsprechen, und daß in der Ebene \(\alpha\) eine spezielle Homologie mit \(a_1\) als Achse induziert wird. Den syntheti\-schen Untersuchungen werden die Gleichungen der Homographien der Gruppe \(G\) hinzugefügt.