On limits of algebraic varieties, in particular of their intersections and tangential forms. (Q2578372)

Die für die neueren Fragestellungen der algebraischen Geometrie grund\-legende Frage, wie sich die Eigenschaften und Abzählungen algebraischer Mannig\-faltigkeiten (alg. Mannigf.) bei Grenzübergängen verhalten, nimmt Verf. in dieser und nachfolgenden Arbeiten systematisch in Angriff. Er beginnt zunächst mit der wichtigen Unterscheidung zwischen gewöhn\-lichem und allgemeinem Limes. Ist \(\lambda\) variabler Punkt einer unendlichen Punkt\-menge \(\varLambda\) eines topologischen Raumes, \(\lambda_0\) ein Häufungspunkt von \(\varLambda\), \(P (\lambda)\) ein von \(\lambda\) abhängiger Punkt des \(S_r\), so braucht der ``gewöhnliche Limes'': \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}P(\lambda)=P_0\) keineswegs zu existieren; man kann aber stets aus \(\varLambda\) eine Teilmenge \(\overline{\varLambda}\) mit dem Häufungspunkt \(\lambda_0\) wählen und für \(\overline{\lambda}\in\overline{\varLambda}\) \(P(\overline{\lambda})\) so bestimmen, daß \({\lim\limits_{\overline{\lambda}\to\lambda_0}}P(\overline{\lambda})\) existiert; die Gesamtheit \(\mathfrak P_0\) aller so konstruierbaren Limespunkte bezeichnet man als den ``allgemeinen Limes'': \(\operatornamewithlimits{\hbox{\mathit Lm}}\limits_{\lambda\to\lambda_0}P(\lambda)=\mathfrak P_0\); \(\mathfrak P_0\) braucht keine alg. Mannigf. zu sein. Die bekannte Darstellung der reinen alg. Untermannigf. gegebener Ordnung \(M\) einer alg. Mannigf. \(V\) durch die Punkte einer alg. Mannigf. \(W\) führt zur Definition der Begriffe \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}M (\lambda) = M_0\) bzw. \(\operatornamewithlimits{\hbox{\mathit Lm}}\limits_{\lambda\to\lambda_0}M(\lambda)=\mathfrak M_0\). Existiert \(M_0\), dann gilt für einen Punkt \(Q(\lambda)\) von \(V\), der der einzigen Bedingung, \(M(\lambda)\) anzugehören, genügt: \(\operatornamewithlimits{\hbox{\mathit Lm}}\limits_{\lambda\to\lambda_0}Q(\lambda)=M_0\); andernfalls ist \(\operatornamewithlimits{\hbox{\mathit Lm}}\limits_{\lambda\to\lambda_0}Q(\lambda)=\mathfrak M_0\); es ist \(\dim\mathfrak M_0> \dim M (\lambda)\), und das Gleiche gilt für jeden Teil von \(\mathfrak M_0\), wenn \(M (\lambda)\) eine reine Mannigf. ist. Ist \(M(\lambda)\) irreduzibel, so existiert sicher \(\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}M(\lambda)\), wenn \(\mathfrak M_0\) eine irreduzible alg. Mannigf. gleicher Ordnung und Dimension wie \(M(\lambda)\) ist. In der üblichen Weise erklärt nun Verf. den Schnitt \((M, N)\) zweier Mannig\-faltigkeiten \(M\), \(N\) auf \(V\) und die Vielfachheiten seiner Komponenten. Um den Schnitt \((M^{(1)},\dots,M^{(h)})\) von \(h\) (\(\geqq2\)) reinen Mannigf. \(M^{(i)}\) (\(i = 1\),\dots, \(h\)) der Di\-mensionen \(m_i\) auf \(V_n\) zu finden, zieht man die \(V_{hn}=V'\) heran, deren Punkte die geordneten Punktgruppen \((P^{(1)},\dots,P^{(h)})\) von \(V\) abbilden; die Gruppen \((P^{(1)},\dots,P^{(h)})\) mit \(P^{(i)}\subset M^{(i)}\) bzw. mit \(P^{(1)}=\cdots=P^{(h)}\) bilden sich in \(V'\) auf zwei reine Mannigf. \(M\), \(N\) der Dimensionen \({\sum\limits_{i=1}^{h}}m_i\) bzw. \(n\) ab, deren Schnitt \((M, N)\) durch die birationale Transformation zwischen \(V_n\) und \(N\) in \((M^{(1)},\dots,M^{(h)})\) auf \(V_n\) abgebildet wird. Die Operation der Schnittbildung ist wohl distributiv, aber nicht assoziativ; ihre Übertragung auf nichtreine Mannigf. ist klar. Existieren (*) \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}M_{(\lambda)}^{(i)}=M_0^{(i)}\) und \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}(M^{(1)}(\lambda),\dots,M^{(h)}(\lambda))=L_0\), so ist sicher \(L_0\subset(M^{(1)}_0,M^{(2)}_0,\dots,M^{(h)}_0)\); sind die \(M^{(i)}(\lambda)\) überdies rein, dann hat jede Komponente von \((M^{(1)}_0,\dots,M^{(h)}_0)\) die reguläre Dimension \(d={\sum\limits_{i=1}^{h}}m_i-(h-1)n\) und in \(L_0\) wie in \((M^{(1)}_0,\dots,M^{(h)}_0)\) die gleiche Dimension. Ist \((M^{(1)}(\lambda),\dots,M^{(h)}(\lambda))\) eine reine \(d\)-dimensionale Mannigf., während \((M^{(1)}_0,\dots,M^{(h)}_0)\) in die Summe einer \(d\)-dimensionalen Mannigf. \(\varDelta\) und einer \(c\)(\(>d\))-dimensionalen \(\varGamma\) zerfällt, wobei keine Komponente von \(\varDelta\) zu einer solchen von \(\varGamma\) gehört, so ist \(L_0=\varDelta+\gamma\), \(\gamma\subset\varGamma\); die \(d\)-dimensionale Mannigf. \(\gamma\) nennt man den geometrischen Beitrag von \(\varGamma\) zu \((M^{(1)}_0,\dots,M^{(h)}_0)\) bei der Deutung (*); sie läßt sich durch eine \(\varGamma\), \(M^{(i)}_0\) (\(i=1\),\dots, \(h\)) enthaltende Äquivalenz auf \(V_n\) ausdrücken. Nunmehr wendet sich Verf. zur Behandlung des Falles, in dem die Schnitt\-gruppe zweier auf einer Fläche \(V\) in Linearsystemen variierenden Kurven \(A(\lambda)\) und \(A'(\lambda)\) für \(\lambda\to\lambda_0\) unbestimmt wird dadurch, daß die gewöhnlichen Limites \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}A(\lambda)=A_0=\varGamma+C\), \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}A'(\lambda)=A_0'=\varGamma+C'\) einen Kurventeil \(\varGamma\) gemein haben. Unter den Voraussetzungen: 1) \(\varGamma\), \(C\), \(C'\) haben keinen Punkt gemein; 2) die Büschel \(A_0\), \(A\) und \(A_0'\), \(A'\) streben für \(\lambda\to\lambda_0\) gegen bestimmte Grenzbüschel \(A_0\), \(A_1\) bzw. \(A_0'\), \(A_1'\); 3) die äquivalenten Kurven \(C + A_1'\), \(C' + A_1\) sind verschieden, und keine Kurve \(\varOmega_0\) ihres Büschels hat mit \(\varGamma\) einen Teil gemein, gilt, daß der gewöhn\-liche Limes \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}G(\lambda)={\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}} (A(\lambda),A'(\lambda))=G_0\), falls er existiert, gleich \((C, C') + \gamma\) ist, wobei \(\gamma\) eine Punktgruppe auf \(\varGamma\) ist, die deren vollständigen Schnitt mit einer \(\varOmega_0\) darstellt. In diesem Zusammenhang beweist Verf., daß beim Grenzübergang aus den Elementen eines unendlichen Systems irreduzibler algebraischer Kurven der Ordnung \(n\) und des Geschlechts \(p\) das Geschlecht \(p_0\) jeder irreduziblen Grenzkurve \(p\) nicht übertreffen kann. Diese Sätze ermöglichen die Klärung eines Fehlers in einem Beispiel von \textit{F. Enriques} (Atti Accad. naz. Lincei, Rend., Cl. Sci. fis. mat. natur. (6) 27 (1938), 493-498; F. d. M. \(64_{\text{I}}\), 688) und anderer Beispiele, die zeigen, daß die Grenze der auf \(A(\lambda)\) von einem Linearsystem \(| A' (\lambda) |\) ausgeschnittenen Punkt\-gruppenschar, falls \(A\) gegen eine zerfallende Kurve \(A_0 = \varGamma + C\) strebt, umfassender sein kann als die auf \(A_0\) von \(|A_0'|\) ausgeschnittene Schar. Die Methoden lassen sich übertragen: auf einer nichtsingulären \(V_t\) seien \(A^{(i)}(\lambda)\), (\(i = 1\),\dots, \(t\)) \(t\) je in einem Linearsystem variable Hyperflächen mit einer Schnittgruppe aus endlich vielen Punkten \((A^{(1)},\dots,A^{(t)})=G(\lambda)\); es existiere \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}A^{(i)}(\lambda)=A_0^{(i)}\), \(i = 1\),\dots, \(t\), und diese Hyperflächen mögen sich außer in einer Gruppe von \(\delta\) Punkten in einer reinen, nichtsingulären \(h\)(\(<t\))-dimensionalen Mannigf. \(\varGamma\) schneiden und in jedem Punkte derselben nur die Tangenten von \(\varGamma\) gemein haben; dann gilt \({\lim\limits_{\lambda\to\lambda_0}}G(\lambda)=G_0=\gamma+\delta\), wobei \(\gamma\) als effektive \(h\)-dimensionale Schnitt\-mannigf. von \(\varGamma\) mit einer passenden \((h + 1)\)-dimensionalen Mannigf. \(\varOmega_0\) konstruiert werden kann. Nunmehr bestimmt Verf. die Grenze der Tangentenhyperebenen an eine in mehrere ein- oder mehrfache Komponenten zerfallende Hyperfläche. Im \(S_t\) sei \(A(\lambda)\) eine nichtsinguläre, in einem Büschel \(\varSigma\) variable Hyperfläche der Ordnung \(n\), die für \(\lambda\to\lambda_0\) gegen \(A_0={\sum\limits_{i=1}^{s}}r_iA_i\) strebt, also in die Summe der \(r_i\)-fach gezählten Hyperflächen \(A_i\) der Ordnungen \(n_i\) zerfällt. Je \(h\) der \(A_i\) (\(h=1\), 2,\dots, \(p=\operatorname{min}\,(s,t)\)) mögen sich in den nichtsingulären Mannigf. \(A_{i_1\ldots i_h}= (A_{i_1}, A_{i_2},\dots, A_{i_h})\) der Dimension \(t - h\) schneiden; die Mannigfaltigkeiten \(A_{0j_1\ldots j_k}= (A,A_{j_1},\dots, A_{j_k})\) (\(k = 1\), 2,\dots, \(q = \operatorname{min}\, (s, t - 1)\)) seien von der Dimension \(t - k - 1\) und frei von mehrfachen Punkten. Bedeutet dann allgemein \(M^*\) die Gesamtheit der \(\infty^{t-1}\) zur Mannigfaltigkeit \(M\) berührenden Hyperebenen, so beweist Verf. die grundlegende Formel: \[ \lim_{\lambda\to\lambda_0}A^*=\sum\limits_{h=1}^{p}\sum\limits_{(i)} (r_{i_1}+\cdots+r_{i_h})\,A_{i_1\ldots i_h}^* +\sum\limits_{k=1}^{q}\sum\limits_{(j)} (r_{j_1}+\cdots+r_{j_k}-1)\,A_{0j_1\ldots j_k}^*,\tag{1} \] wobei die eine Summe über alle Kombinationen \(i_1\),\dots, \(i_h\), die andere über alle Kom\-binationen \(j_1\),\dots, \(j_k\) der 1, 2,\dots, \(s\) zu je \(h\) bzw. \(k\) zu erstrecken ist. In einem weiteren Abschnitt befaßt sich Verf. mit rein differentialgeometrischen Eigenschaften, insbesondere der Berührung zweier variabler Hyperflächen auf einer analytischen \(V_t\). \(\varSigma\) sei ein analytisches \(\infty^1\)-System solcher Hyperflächen \(F\); eine davon, \(F_0\), besitze in einem einfachen Punkt \(O\) von \(V\) einen \(k\)(\(\geqq1\))-fachen Punkt. \(L\) sei ein analytischer Kurvenzweig durch \(O\), der nicht auf \(F_0\) liegt; dann geht durch jeden Punkt \(P\neq O\) von \(L\) ein Element \(F_P\) aus \(\varSigma\) mit \(P\) als einfachem Punkt, in dem \(\pi\) der berührende \(S_{t-1}\) sei. Dann besteht \(\pi_0= \operatornamewithlimits{\hbox{\mathit Lm}}\limits_{P\to0}\pi\) aus einer endlichen Anzahl von \(S_{t-1}\), die Verf. genau angibt: 1) für \(k = 1\) ist \(\pi_0\) der Tangentialräum in \(O\) an \(F_0\); 2) ist \(k > 1\) und gehört \(O\) nicht zur Hülle von \(\varSigma\), so ist \(\pi_0\) der lineare Polarraum \(\sigma\) der Tangente \(l\) von \(L\) in \(O\) bezüglich des Berührungskegels \(\varPhi\) der Ordnung \(k\) in \(O\) an \(F_0\); 3) ist \(k > 1\), gehört \(O\) zur Hülle von \(\varSigma\) und geht das in \(\varSigma\) zu \(F_0\) benachbarte Element \(\overline{F}\) einfach durch \(O\) mit dem Tangential-\(S_{t-1}\) \(\psi\), dann ist \(\pi_0=\psi\), wenn \(l\) eine mehrfache Erzeugende von \(\varPhi\) ist, und andernfalls gehört \(\pi_0\) zu dem aus \(\psi\) und \(\sigma\) gebildeten Büschel. Man sagt, \(\varSigma\) enthalte \(F_0\) ``regulär'', wenn die zu \(F_0\) benachbarten Elemente aus \(\varSigma\) eineindeutig auf einen Wertebereich des Systemparameters bezogen werden können, der den zu \(F_0\) gehörigen Parameterwert enthält. Man sagt, \(F_0\) habe in \(O\) eine ``fastnormale'' Singularität, wenn die Umgebung von \(O\) auf \(F_0\) in eine endliche Anzahl \(s\) analytischer \((t - 1)\)-dimensionaler Zweige erster Ordnung zer\-fällt, die in \(O\) s linear-unabhängige Tangentialräume anfweisen. Aus dem Voran\-gehenden läßt sich nun folgende Frage beantworten: \(\varSigma\), \(\varSigma'\) seien zwei analytische \(\infty^1\)-Hyperflächensysteme auf \(V_t\), \(F_P\), \(F_P'\) ihre einfach durch \(P\) gehenden Elemente, \(\pi\) ihr gemeinsamer Tangential-\(S_{t-1}\) in \(P\). Läßt man dann \(P\) auf \(L\) gegen \(O\) streben, dann streben \(F_P\), \(F_P'\), \(\pi\) gegen \(F_0\), \(F_0'\), \(\pi_0\); welches ist die diese Elemente und \(l\) ver\-bindende Beziehung? Gehört \(O\) nicht zur Hülle von \(\varSigma\), so berührt \(F_0'\) in \(O\) die \((t- s)\)-dimensionale Mannigfaltigkeit \(\varOmega\) der \(k\)-fachen Punkte von \(F_0\); liegt \(O\) aber auf der Hülle von \(\varSigma\) und schneidet das Nachbarelement \(\overline{F}\) zu \(F_0\) in \(\varSigma\) \(\varOmega\) in einer \(O\) ein\-fach enthaltenden \((t - s - 1)\)-dimensionalen Mannigfaltigkeit \(\varOmega_1\), dann berührt \(F_0'\) \(\varOmega_1\) in \(O\). Hat man umgekehrt zwei \(\infty^1\)-Systeme \(\varSigma\), \(\varSigma'\) und enthält \(\varSigma\) regulär eine \(F_0\) mit einer fastnormalen Singularität in dem einfachen Punkt \(O\) von \(V_t\), \(\varSigma'\) aber regulär eine einfach durch \(O\) gehende \(F_0'\), ohne daß \(O\) auf der Hülle von \(\varSigma'\) liegt, so ist der Ort der Berührungspunkte je eines Elementes aus \(\varSigma\) mit je einem solchen aus \(\varSigma'\) außerhalb \(F_0\) in der Umgebung von \(O\) eine analytische, einfach durch \(O\) gehende und dort \(F_0\) berührende Kurve, falls zusätzliche Bedingungen erfüllt sind, die dem letztausgesprochenen Satze entsprechen. Die vorangehenden differentialgeometrischen Analysen gestatten nun eine wichtige Erweiterung der Formel (1). Auf \(V_t\) sei \(\varSigma\) ein analytisches einparametriges System von \(V_{t-1} = A\); \(A\) sei im allgemeinen nichtsingulär; in \(\varSigma\) sei eine \(V_{t-1}'=B\) regulär enthalten, die mehrere fastnormale Singularitäten aufweist. Die \(k\)-fachen Punkte \(O\) von \(B\) erfüllen dann eine \((t - s)\)-dimensionale algebraische Mannigfaltig\-keit \(\varPhi\), in deren Umgebung \(B\) in \(s\) linear unabhängige, durch \(\varPhi\) gehende Zweige \(\varPhi_1\),\dots \(\varPhi_s\) mit den Vielfachheiten \(r_1\),\dots, \(r_s\) \(\left({\sum\limits_{i=1}^{s}}r_i=k\right)\) zerfällt. Geht durch \(O\) das Nachbarelement \(\overline{B}\) von \(B\) in \(\varSigma\), so möge überdies \(\overline{B}\) durch \(O\) einfach mit einem von \(\varPhi_1\),\dots \(\varPhi_s\) linear-unabhängigen Zweige gehen. Für jede \(\varPhi\) der Dimension \(t - s > 0\) betrachten wir die Grenzlage \(\tilde{\varPhi}\) des Schnittes \((\varPhi,A)\) für \(A\to B\) und be\-zeichnen allgemein mit \(M^*\) das \((t - 1)\)-dimensionale algebraische System der \(S_{t-1}\), die gleichzeitig \(V_t\) und \(M\) in einem einfachen Punkte von \(M\) berühren. Dann gilt als Verallgemeinerung von (1): \[ {\lim\limits_{A\to B}}A^*={\sum}\,k\varPhi^*+{\sum}\,(k-1) \tilde{\varPhi}{}^*, \tag{2} \] wobei die Summen über alle erklärten Mannigfaltigkeiten \(\varPhi\), \(\tilde{\varPhi}\) zu bilden sind. Verf. betrachtet dann im einzelnen mehrere Sonderfälle dieses Satzes: z. B. daß \(\varSigma\) linear ist und \(B\) in \(s\) \((t - 1)\)-dimensionale Komponenten zerfällt.