Über ganze birationale Transformationen der Ebene. (Q2578401)

Nach dem Vorgang von \textit{O. H. Keller} (Mh. Math. Physik 47 (1939), 299-306; F. d. M. 65, 713 (JFM 65.0713.*)) heißen ganze Cremonatransformationen der Ebene diejenigen, bei denen sich sowohl \(x\), \(y\) als Polynome in \(x'\), \(y'\), als auch umgekehrt \(x'\), \(y'\) als Poly\-nome in \(x\), \(y\) darstellen. Die Funktionaldeterminanten \(\varDelta=\dfrac{\partial (x,y)}{\partial (x',y')}\) und \(\varDelta'=\dfrac{\partial (x',y')}{\partial (x,y)}\) sind dann wegen \(\varDelta\varDelta'=1\) konstant und können gleich 1 angenommen werden. Diese Transformationen bilden eine Gruppe. Verf. beweist mit den Mitteln der von ihm begründeten Primteilertheorie der Funktionenkörper zweier Veränderlicher, daß sich diese Gruppe aus folgenden drei Transformationsarten aufbauen läßt: 1) der Multiplikationstransformation: \(x' = ax\), \(y'=\dfrac ya\), \(a\neq0\), 2) der Vertauschungstransformation: \(x' = \pm y\), \(y' =\mp x\), 3) der Additionstransformation: \(x'= x\), \(y'=y + a\cdot x^\alpha\) mit \(a =\) const, \(\alpha =\) positive ganze Zahl oder Null. (Vgl. \textit{O. H. Keller}, J. reine angew. Math. 186 (1944), 78-79; F. d. M. 70.)