Transformations birationnelles et complexes linéaires de courbes rationnelles normales. (Q2578417)

Im \(S_n\) mit den homogenen Koordinaten \(x_0,\ldots,x_n\) bedeuten \(a\), \(a'\), \(b_{ik}\), \(b_{ik}'\) (\(i=1,\ldots,n-1\); \(k = 1,\ldots, n\)) Linearformen. Durch die Forderung, daß die Matrix \[ \left( \begin{matrix} a, & \sum\limits_{k=1}^n\lambda_k b_{1k},\ldots,& \sum\limits_{k=1}^n\lambda_k b_{n-1,k} \\ a', & \sum\limits_{k=1}^n\lambda_k b_{1k}',\ldots,& \sum\limits_{k=1}^n\lambda_k b_{n-1,k}' \end{matrix}\right) \] den Rang 1 haben soll, wird ein \((n-1)\)-dimensionaler linearer Komplex rationaler Normalkurven \(K\) definiert. Die Hyperebenen \(\alpha_{n-1}\), \(\alpha_{n-1}'\) mit den Gleichungen \(a=0\), \(a'=0\) schneiden sich in einem \(S_{n-2}\), der \(K\) \((n-1)\)-mal trifft; ordnet man also die restlichen \(n\)-ten Schnittpunkte mit \(K\) einander zu, so entsteht eine Cremonatransformation \(T\) zwischen \(\alpha_{n-1}\) und \(\alpha_{n-1}'\); sie ordnet den Hyperebenen von \(\alpha_{n-1}\) \(V{}_{n-2}^{(n-1)^2}\) in \(\alpha_{n-1}'\) zu, die \((n-1)\)-fach durch eine \(V{}_{n-3}^{\frac12 n(n-1)}\) und einfach durch eine \(V{}_{n-3}^{\frac14n(n-1)^2(n-2)}\) gehen, wobei diese Basisgebilde eine \(V{}_{n-4}^{\frac16n^2(n-1)^2(n-2)}\) gemein haben. Führt man den projektiven Zwischenraum \(\varLambda_{n-1}\) mit den Koordinaten \(\lambda_1,\ldots,\lambda_n\) ein, so kann man zerlegen \(T = R \cdot R'\). Dabei ordnet \(R\) durch die Gleichungen \(a=0\), \(\sum\limits_{k=1}^n\lambda_k b_{ik}=0\), (\(i=1,\ldots, n - 1)\) jedem Punkte aus \(\alpha_{n-1}\) den konjugierten bezüglich \(n-1\) Reziprozitäten zwischen \(\alpha_{n-1}\) und \(\varLambda_{n-1}\) zu; analog \(R'\). In ähnlicher Weise läßt sich mittels einer linearen Kongruenz räumlicher \(C^3\) zwischen zwei Ebenen eine Cremonaabbildung der Ordnung 25 mit je 6 Fundamentalpunkten der Ordnungen 2 und 10 konstruieren. Drückt man aus, daß eine aus \(n+1\) Zeilen und \(n+2\) Spalten bestehende Matrix von Linearformen des \(S_n\) den Rang \(n\) haben soll, so erhält man eine \(\varGamma=V{}_{n-2}^{\frac12(n+1)(n+2)}\); sie gestattet \(\infty^{n-3}\) \((n+1)\)-mal treffende Geraden, die eine \(V^N_{n-2}\), \(N=\frac14(n+1)^2(n^2-4)\) bilden. Dann gibt es ein homaloidales \(n\)-dimensionales Linearsystem von \(V{}_{n-1}^{n(n+1)-1}\), die \(n\)-fach durch \(\varGamma\) und einfach durch \(V^N_{n-2}\) gehen und eine Cremonaabbildung von \(S_n\) in sich erklären. Der Sonderfall \(n=3\) wird besonders behandelt.