Sulle direttrici di grado virtuale minimo d'una rigata algebrica di genere \(p > 0\). (Q2578426)

\textit{Severi} (Rend. Mat. sue Appl. Univ. Roma Ist. naz. alta Mat. (5) 2 (1941), 1-32; F. d. M. 67, 610 (JFM 67.0610.*)) hat die Regelflächen vom birationalen Standpunkt aus studiert; an seine Ergebnisse knüpft Verf. an. Severi bewies, daß es auf jeder vorgegebenen abstrakten Regelfläche \(F\) einen Minimalgrad \(m\) \(\left(\gtreqqless 0\right)\) der Leitkurven gibt, und daß eine Leitkurve kleinsten Grades durch die Eigenschaft gekennzeichnet ist, jede andere Leitkurve in der kleinstmöglichen Punktzahl zu schneiden; weiterhin zeigte Severi, daß, wenn \(p\) (\(> 0\)) das Geschlecht von \(F\) ist, auf \(F\) Leitkurven des virtuellen Grades \(p\) oder \(p-1\) vorkommen, wobei die Frage offen blieb, ob es tatsächlich Regelflächen gibt, für die \(m=p\) bzw. \(p-1\) ist. Diese Frage wird in vorliegender Arbeit positiv beantwortet, wobei sich Verf. auf die Ergebnisse der vorstehend besprochenen Arbeit stützt; er beweist nämlich die Existenz einer in Ebenen zerfallenden Regelfläche, für die \(m=p\) oder \(p-1\) ist, und die zugleich Grenzfall einer irreduziblen Regelfläche ist. Dazu ist die Herstellung einer in Ebenen zerfallenden Regelfläche \(\varLambda\) erforderlich, die einerseits Grenzfall einer irreduziblen Regelfläche \(\varPhi\) der Ordnung \(n\) und des Geschlechts \(p\) ist und andererseits keine Leitkurven des virtuellen Geschlechts \(p\) der Ordnung \(< [\frac12(n+ p)]\) enthält; die Übergangskurve von \(\varLambda\) kann man als aus \(n+p-1\) Doppelgeraden des virtuellen Geschlechts \(p\) mit \(n\) Zusammenhangspunkten, durch deren keinen mehr als drei Geraden laufen, bestehend ansehen. Auf diese Weise erhält Verf. Flächen \(\varPhi\) mit \(n\equiv p\) bzw. \(n\equiv p-1\;(\text{mod}\;2)\), für die die kleinste Ordnung der Leitkurven gleich \(\frac 12(n + p)\) bzw. \(\frac12(n+p-1)\) ist, was mit obigem Existenzsatz gleichwertig ist. Zugleich beweist Verf. im \(S_3\) die Existenz einer Familie projektiver Regelflächen, deren allgemeines Element das Geschlecht \(p\) und beliebige Moduln besitzt, innerhalb deren die Regelflächen, bei denen der Minimalgrad der Leitkurven \(< p - 1\) ist, eine algebraische Untermannigfaltigkeit bilden, so daß also für das allgemeine Glied dieser Familie \(m=p\) oder \(p-1\) ist. Ob eine ähnliche Aussage innerhalb der Gesamtheit gilt, deren allgemeines Element von den ausnahmslos birational äquivalenten abstrakten Regelflächen des Geschlechts \(p\) gebildet wird, ist eine offene Frage; jedenfalls ist die Existenz von Regelflächen des Geschlechtes \(p\), für die \(m>0\) eine beliebig vorgegebene ganze Zahl \(<p-1\) ist, hinreichend wahrscheinlich; andererseits gibt es nach Severi abstrakte Regelflächen vom Geschlecht \(p\) mit beliebigen Moduln, die Leitkurven vom virtuellen Grad \(\leqq0\) besitzen.