Sulle superficie le cui curve canoniche contengono una \(g^1_3\). (Q2578433)

Die algebraischen Flächen des Geschlechts \(p_g\geqq 4\), deren kanonische Kurven \(K\) eine Linearschar \(g^{\frac13}\) tragen, waren bereits Gegenstand einer Arbeit von \textit{G. Pompilj} (Ist. Lombardo Sci. Lett., Rend. Cl. Sci. mat. natur. (3) 5 (1941), 280-286; F. d. M. 67, 612 (JFM 67.0612.*)), der sie durch zwei verschiedene Typen dreifacher Ebenen verwirklichte. Hier findet Verf. auf ganz anderem Wege eine Klassifikation dieser Flächen, indem er sie auf die beiden folgenden projektiven Typen im \(S_3\) zurückführt: 1) \(F^8\) mit einer vierfachen Geraden \(r\) und vier komplanaren, sich in einem Punkte von \(r\) schneidenden Doppelgeraden (\(p_g = 5\), \(p^{(1)} = 10\)); 2) \(F^7\) mit dreifacher Geraden \(r\) und drei komplanaren, sich in einem Punkte von \(r\) schneidenden Doppelgeraden (\(p_g=4\), \(p^{(1)}=7\)). Dazu bildet Verf. die Fläche mittels des Systems \(|K|\) auf eine (dreifache) kanonische Fläche \(\varPhi\) ab; \(\varPhi\) ist ein rationaler Kegel; dessen Erzeugenden entspricht auf einem von ausgezeichneten Kurven freien Modell \(F\) der Fläche ein lineares Büschel mit einfachem Basispunkt von Kurven \(C\) des Geschlechts 3, die auf den \(K\) die Schar \(g^1_3\) ausschneiden. Bildet man mittels des adjungierten Systems \(|C'|\), das einfach und frei von Basispunkten ist, durch lineare Kombination zweier allgemeiner \(C'\) mit der Summe aus \(C\) und einer festen \(K\) ein \(\infty^3\)-System, so liefert dies die Abbildung auf die oben genannten beiden Normalformen.