Sugl' integrali semplici di 1\(^{\text{a}}\) specie e sulle involuzioni irregolari appartenenti ad una varietà o superficie algebrica. (Q2578459)

Eine in ihrem Inhalt unrichtige Arbeit von \textit{F. Enriques} (Rev. Univ. Nac. Tucuman, A 1 (1940), 293-296; F.~d.~M. 66, 813) gibt Verf. Veranlassung, die transzendente Theorie der Involutionen auf einer algebraischen Mannigfaltigkeit von Grund aus zu entwickeln. \(V_k\) sei irreduzibel und von der Flächenirregularität (F. I.) \(q\), d. h. besitze \(q\) unabhängige einfache Integrale 1. Gattung \(u_1, \ldots \!, u_q\) mit den \(2q\) Perioden \(\omega_{ij}\), \(i=1, \ldots \!, q\), \(j=1, \ldots \!, 2q\); es bezeichne dann \(\omega_j\) den Vektor mit den Komponenten \(\omega_{1j}, \ldots \!, \omega_{qj}\). Ein Vektor \(\theta\) mit den Komponenten \(\theta_1, \ldots \!, \theta_{q'}\), \(q' \leqq q\), heißt Unterperiode von \(q'\) der Integrale \(u_i\), nämlich \(u_1, \ldots \!, u_{q'}\), wenn es eine ganze Zahl \(\nu\) gibt, so daß \(\nu \theta\) eine Simultanperiode von \(u_1, \ldots \!, u_{q'}\) ist, d. h. ganze Zahlen \(m_1, \ldots \!, m_{2q}\) so bestimmt werden können, daß \(\nu \theta_i = \sum\limits_{j=1}^{2q} m_j \omega_{ij}\), also \(\nu \theta \equiv 0\)(mod \(\omega\)) ist; die kleinste ganze Zahl \(\nu\), die das leistet, heißt Index von \(\theta\). Als Involution \((k - h)\)-ter Art auf \(V_k\) bezeichnet man ein irreduzibles algebraisches System \(\gamma\) von \(\infty^h\) Mannigfaltigkeiten \(M_{k-h}\) der Art, daß durch den allgemeinen Punkt der \(V_k\) genau eine \(M_{k-h}\) geht; bildet man die Elemente von \(\gamma\) birational auf die Punkte einer \(W_h\) ab, so bezeichnet man deren F. I. \(q'(\leqq q)\) als F. I. von \(\gamma\); den \(q'\) Integralen 1. Gattung von \(W_h\) entsprechen dabei auf \(V_k\) ebensoviele unabhängige Integrale \(u\), die längs der \(M_{k-h}\) konstant sind bzw. für \(k = h\) in den Punkten einer Gruppe von \(\gamma\) Werte annehmen, die zueinander kongruent sind bezüglich der Integralperioden auf \(W_h\). Es genügt, den Fall \(k=h\) eingehender zu analysieren; dann besteht \(\gamma\) aus Gruppen von je \(n\) Punkten. Die Simultanperioden der einfachen Integrale 1. Gattung auf \(W_k\) sind Unterperioden der ihnen entsprechenden Integrale auf \(V_k\), wobei der Index jeder Unterperiode ein Teiler von \(n\) ist. Auf \(V_k\) gibt es stets eine Fundamentalinvolution \(H\) der gleichen F. I. \(q\); sie wird für \(q \leqq k\) durch die Mannigfaltigkeiten gebildet, längs deren die \(u_1, \ldots \!, u_{q}\) konstant sind, während sie für \(q \geqq k\) aus den Gruppen von je \(m\) Punkten besteht, in deren jeder die \(u_1, \ldots \!, u_{q}\) zueinander bezüglich der Integralperioden kongruente Werte annehmen; als birationales Bild von \(H\) kann man eine Picardsche Mannigfaltigkeit benutzen, deren einfache Integrale 1. Gattung die gleichen Perioden wie die der \(V_k\) haben. Ist nun \(\theta\) eine Unterperiode der \(u_i\) \((i = 1, \ldots \!, q)\), und sind \(u_i\), \(u_i^{\prime}\) die Werte der \(u_i\) in zwei Punkten \(P\), \(P'\) von \(V_k\), so bestimmen die Kongruenzen \(u_i^{\prime} \equiv u_i\), (mod \(\theta, \omega)\), \(i = 1, \ldots \!, q\), bei festem \(P\) eine von \(P\)' beschriebene algebraische Mannigfaltigkeit, die mit veränderlichem \(P\) auf \(V_k\) eine Involution der F. I. \(q\) beschreibt; diese Involution ist mit \(H\) zusammengesetzt. Daraus läßt sich ableiten, daß auf \(V_k\) jede Involution, deren F. I. mit derjenigen \(q\) von \(V_k\) übereinstimmt, entweder mit \(H\) zusammengesetzt ist oder umgekehrt \(H\) mit ihr. Die Existenz einer Involution der F. I. \(q' < q\) zieht auf \(V_k\) die Existenz eines regulären Systems reduzibler, einfacher Integrale 1. Gattung nach sich. Wenn es unter den \(u_i\) \(q'\) \((< q)\) Integrale gibt, die längs einer irreduziblen, auf \(V_k\) liegenden \(V_l\) \((l \geqq 1)\) konstant sind, so bilden sie auf \(V_k\) ein reguläres System von \(q'\) Integralen mit \(2q'\) reduzierten Perioden; für \(k = 2\) weiß man nach Castelnuovo und De Franchis, daß dann \(V_1\) entweder eine isolierte Kurve ist oder einem irrationalen Büschel angehört; ebenso ist im allgemeinen Falle entweder \(V_l\) isoliert oder gehört einem transitiven kontinuierlichen System von \(V_l\) an, die eine isolierte Mannigfaltigkeit auf \(V_k\) erfüllen, längs derer die \(q'\) Integrale konstant sind, oder gehört schließlich einem intransitiven System an, das aus einer stetigen Mannigfaltigkeit transitiver Systeme besteht, die auf den Elementen einer Involution der Art \(\geqq l\) von \(V_k\) liegen, längs welcher die \(q'\) Integrale konstant sind. -- Nun spezialisiert Verf. seine Untersuchungen auf den Fall \(k = 2\). Enthält eine Fläche \(F\) der Irregularität \(p_g - p_a = q > 0\) eine Gesamtheit von unendlichvielen Involutionen der gleichen Irregularität \(q\), so kann diese Gesamtheit stetig sein -- und dann enthält \(F\) ein Kurvenbüschel des Geschlechts \(q\), mittels dessen jene Involutionen zusammengesetzt sind, und die Involutionen sind birational auf eine Regelfläche des Geschlechts \(q\) oder eine Fläche mit einem Büschel des Geschlechts \(q\) von elliptischen Kurven beziehbar -- oder diese Gesamtheit ist diskontinuierlich, und dann ist \(F\), falls sie kein Kurvenbüschel des Geschlechts \(q\) trägt, birational äquivalent: a) einer ein- oder mehrfachen Picardschen Fläche, die \(H\) birational abbildet, also \(q=2\), oder b) einer ein- oder mehrfachen elliptischen Fläche, die \(H\) birational abbildet; die Involutionen der Irregularität \(q\) auf \(F\) sind dann birational auf Flächen mit einem elliptischen Büschel elliptischer Kurven abbildbar.