Über die Differentialgeometrie von Gauß. (Q2578498)

Vortrag in Heidelberg am 20. 6. 1941. Verf. bedient sich der (Cartanschen) äußeren Ableitung, um in einer ungemein eleganten Weise das Theorema egregium und den Gauß-Bonnetschen Satz zu beweisen und den Parallelismus von Levi-Civita zu besprechen: Die Integrabilitätsbedingungen der (Cartanschen) Zusammenhangsgleichungen \[ d{\boldsymbol M}=\omega_0^i{\boldsymbol e}_i, \quad d{\boldsymbol e}_i =\omega_i^j{\boldsymbol e}_j, \tag{1} \] (wo \({\boldsymbol M}(u,v)\) den laufenden Flächenpunkt darstellt und \({\boldsymbol e}_i\) (\(i=1\), 2, 3) drei linear unabhängige Einheitsvektoren sind), die sogenannten (Cartanschen) Strukturgleichungen, ergeben nach der Greenschen Formel in der Cartanschen Schreibweise \[ \int\limits_{\Re}\omega_0^i =\int\limits_{\mathfrak F}[\omega_j^i\omega_0^j] \qquad (3) \quad \int\limits_{\Re}\omega_j^i + \int\limits_{\mathfrak F}[\omega_k^i\omega_j^k]=0, \tag{2} \] wobei \(\Re\) den Rand des Flächengebietes \(\mathfrak F\) darstellt. Verf. setzt voraus, daß \({\boldsymbol e}_i\) orthogonale Einheitsvektoren sind und \({\boldsymbol e}_3\) normal zur Fläche ist, so daß man in (1), (2), (3) die Formeln \[ \omega_0^3=0, \quad \omega_j^i+\omega_i^j=0 \tag{4} \] einzusetzen hat. Dann ist sofort klar, daß (5) \(K=\dfrac{[\omega_3^2\omega_1^3]}{[\omega^1\omega^2]}\) das Gaußsche Krümmungsmaß darstellt. Ist nun \(\tau\) der Winkel von \(\Re\) und \({\boldsymbol e}_1\), so kann man leicht einsehen, daß (6) \(\chi=\omega_1^2 +d\tau\) (die sogenannte geodätische Krümmung, multipliziert mit \(ds\)) von der speziellen Wahl von \({\boldsymbol e}_1\perp {\boldsymbol e}_2\) unabhängig ist. Die Formel (3) für \(i=2\), \(j = 1\) ist dann nach (4), (5), (6) mit \[ \int\limits_{\Re}(\chi-d\tau)+\int\limits_{\mathfrak F} K[\omega^1\omega^2]=0 \tag{7} \] äquivalent, und diese Gleichung drückt (für ein einfach zusammenhängendes Flächenstück \(\mathfrak F\), wo \(\int\limits_{\Re}d\tau=2\pi\) ist) den Gauß-Bonnetschea Satz aus. Die parallele Verschiebung (im Sinne von Levi-Civita) eines Einheitsvektors \({\boldsymbol v}=\cos \alpha {\boldsymbol e}_1 +\sin \alpha {\boldsymbol e}_2\) bekommt man bekanntlich aus dem Ansatz \({\boldsymbol e}_3\cdot d{\boldsymbol v}=0\), und diese Gleichung ist nach (1) mit \[ \omega_1^2+d\alpha=0 \tag{8} \] äquivalent. Dieser Parallelismus ist nur dann auf \(\mathfrak F\) im Kleinen vom Wege unabhängig, wenn die äußere Ableitung von \(\omega_1^2\) verschwindet (d. i. nach Cartan, wenn \((\omega_1^2)'=0\) ist), was nach (3) (für \(i= 2\), \(j = 1\)) und (4), (5) mit \(K=0\) gleichbedeutend ist. Durch Integration von (6) bekommt man die bekannte Interpretation von \(\int \chi\) in der Form \(\int \chi =(\tau-\alpha)-(\tau_0-\alpha_0)\). -- In ähnlicher Weise wird (für die isometrische Verbiegung \(\omega^\beta=\overline \omega^\beta\), (\(\beta=1\), 2)) das Theorema egregium bewiesen. -- Im letzten Paragraphen wird die Formel für affin-parallele Übertragung und die zugehörige Krümmungsgröße in den Matrizenkalkül umgeschrieben.