Streifenmodelle und Stangenmodelle zur Differentialgeometrie der Drehflächen,\newline Schraubenflächen und Regelflächen. Zum achtzigsten Geburtstag von S.~Finsterwalder. (Q2578519)

Will man differentialgeometrische Eigenschaften von Flächen und daraufgelegenen Kurven und Kurvenscharen durch Modelle veranschaulichen, so ist es zweckmäßig oder sogar notwendig, die differentialgeometrischen Beziehungen durch entsprechende diskretgeometrische Eigenschaften zu ersetzen. Umgekehrt lassen sich auf diesem Wege auch differentialgeometrische Sätze aus den entsprechenden elementargeometrischen Sätzen für die diskretgeometrischen Modelle ableiten, indem diese durch einen Grenzübergang in die entsprechenden Flächen übergeführt werden. Verf. bringt in seiner zu \textit{S.~Finsterwalder}s achtzigstem Geburtstag erschienenen Arbeit Beiträge zu dieser anschaulichen Methode der Differentialgeometrie, die seiner Zeit durch den von \textit{Finsterwalder} der Deutschen Mathematikervereinigung im Jahre 1899 erstatteten Bericht über ``Mechanische Beziehungen bei der Flächendeformation'' (Jber. Deutsche Math.-Verein. 6, 45-90; F.~d.~M.~30, 623) einen starken Anstoß erhalten hatte. Diese Beiträge befassen sich mit \textit{Streifenmodellen für Dreh- und Schraubenflächen} und mit \textit{Stangenmodellen für Regelflächen}. -- Ein \textit{Streifenmodell einer Dreh- bzw. Schraubenfläche} entsteht, indem die Flächenzonen zwischen je zwei diskret aufeinander folgenden Parallelkreisen bzw. Schraubenlinien durch abwickelbare Streifen, d.~h. durch Streifen von Drehkegeln bzw. Schraubenböschungsflächen, ersetzt werden. Aus elementargeometrischen Eigenschaften dieser Streifen ergeben sich durch Grenzübergang das Boursche Theorem über die Verbiegung von Dreh- und Schraubenflächen und die Clairautsche Gleichung für die geodätischen Linien auf diesen Flächen. Als Beispiel wird die Verbiegung der Spiraldrehflächen und der Pseudosphäre mit Hilfe der Verbiegung der zugehörigen Streifenmodelle eingehender untersucht. -- Ein \textit{Stangenmodell einer Regelfläche} entsteht, indem diskret aufeinander folgende Erzeugende durch die auf ihnen senkrecht stehenden kürzesten Abstände verbunden werden. Einfache Beziehungen an diesem Stangenmodell liefern durch Grenzübergang die Bewegungsinvarianten (Differential- und Integralinvarianten) der Regelflächen und die Ableitungsgleichungen der Liniengeometrie der Regelflächen. Ebenso erhält man die Biegungs- und Schrotungsflächen der vorgegebenen Regelfläche, wobei sich auch der Satz ergibt, daß jede Regelfläche in ein Konoid verbogen werden kann. Als Sonderfall werden zum Schluß noch Torse und Binormalenfläche betrachtet. -Darüber hinaus liefern aber die Untersuchungen natürlich auch wertvolle Grundlagen für den praktischen Modellbau.