Isoperimetrische Ungleichungen für konvexe Bereiche mit Ecken. (Q2578594)

In einen Parallelstreifen der Breite \(2a\) sei ein konvexer Bereich \(K\) vom Umfang \(L\) und Inhalt \(F\) mit Ecken einbeschrieben. Dann läßt sich demselben Streifen ein Kappenbereich eines Kreises vom Radius \(a\) mit parallelen Eckentangenten einbeschreiben. Wenn \(L\) nicht zu klein \((\geqq L_0)\) ist, läßt sich durch Herausschneiden oder Einfügen eines Rechtecks des Streifens erreichen, daß der Umfang dieses Kappenbereiches \(K^*\) ebenfalls \(L\) wird. Ist dann der Inhalt \(F^*\), so gilt \(F^*\geqq F\); das Gleichheitszeichen steht nur, wenn \(K\) und \(K^*\) identisch sind. Der Beweis erfolgt nach Bonnesen, indem das linke Glied umgerechnet und dann als Flächeninhalt gedeutet wird. Es folgt, daß die isoperimetrische Aufgabe für konvexe Bereiche des Umfangs \(L\geqq L_0\), die einem Streifen einbeschrieben sind und vorgegebene Eckenwinkel (am Rand des Streifens und sonstwo) haben, nur von ``Extremalbereichen'' der oben angegebenen Gestalt \(K^*\) gelöst wird. Ist \(K\) statt einem Streifen einem Dreieck vom Inkreisradius a einbeschrieben, und hat der Kappenbereich des Inkreises mit parallelen Ecktangenten den Flächeninhalt \(F^*\) und den Umfang \(L^*\), so gilt entsprechend \(F-F^*\leqq(L - L^*)a\). Hieraus wird schließlich eine vom Ref. angegebene Verschärfung der klassischen isoperimetrischen Ungleichung für Bereiche mit vorgegebenen Eckenwinkeln neu hergeleitet. (Nieuw Arch. Wiskunde (2) 20 (1940), 171-175; F. d. M. 66, 909 (JFM 66.0909.*)).