Topological methods for the construction of tensor functions. (Q2578782)

Mittels Verschärfungen \textit{Eilenierg}scher Beweise (Ann. Math., Princeton, (2) 41 (1940), 231-251; F.~d.~M. 66, 951) wird folgendes festgestellt: Es seien ein Faserraum \(X\), ein Komplex \(K\) und eine Abbildung \(\psi\) von \(K\) in die Basis \(B\) von \(X\) vorgegeben; es seien \(F\) die Faser (die kompakt sein soll), \(\pi\) die Projektion jeder Faser auf einen Punkt von \(B\), \(h\) die kleinste ganze Zahl, für welche die Homotopiegruppe \(\pi_h(F)\) von Null verschieden ist, und \(K^l\) die Menge der höchstens \(l\)-dimensionalen Simplexe von \(K\); dann gibt es solche Abbildungen \(\psi'\) von \(K^h\) in \(X\), daß \(\pi \psi'=\psi\); mit jeder solchen Abbildung \(\psi'\) ist ein Kozyklus \(c^{h+1}(\psi')\) von \(K\) verbunden; die notwendige und hinreichende Bedingung, damit es eine Erweiterung auf \(K^{h+1}\) der Abbildung \(\psi'\) mit der Eigenschaft \(\pi \psi'=\psi\) gibt, ist, daß \(c^{h+1}(\psi')=0\) ist; die Kohomologieklasse \(c^{h+1}\) der Kozykel \(c^{h+1}(\psi')\) ist von \(\psi'\) unabhängig; jeder Zykel dieser Klasse \(c^{h+1}\) ist ein \(c^{h+1}(\psi')\); \(c^{h+1}\) ist das inverse Bild durch \(\psi\) einer Kohomologieklasse von \(B\), die vom Faserraum \(X\), aber weder von \(\psi\) noch von \(K\) abhängt. Die Koeffizienten dieser Homologien sind Elemente von \(\pi_h(F)\), wenn \(B\) einfach zusammenhängend ist; im allgemeinen sind sie aber mehrdeutige Funktionen, deren Definitions- und Wertraum \(B\) und \(\pi_h(F)\) sind. Wenn \(h=1\), muß \(\pi_1(F)\) als abelsch vorausgesetzt werden. Folgender Fall wird besonders betrachtet: \(K=B\) ist eine differenzierbare Mannigfaltigkeit \(M\); \(X\) ist die Menge der Tensoren auf \(M\), die einer solchen Bedingung unterworfen sind, daß \(X\) ein Faserraum sei; die Faser, die die Menge der Tensoren mit einem solchen Angriffspunkt ist, darf nicht mehr kompakt sein; die Abbildung \(\psi'\) von \(M\) in \(X\) wird als ``tensor function'' bezeichnet. Als Beispiel wird mit dieser Methode der \textit{Whitney}sche Satz (Ann. Math., Princeton, (2)37 (1936), 645-680; F.~d.~M. 62\(_{\text{II}}\), 1454) von neuem bewiesen, daß eine Riemannsche Metrik auf \(M\) definiert werden kann.