Über die Homotopiegruppen von Gruppenräumen. (Q2578787)

Im ersten Teil untersucht Verf. die Hurewiczschen Homotopiegruppen der Räume, in welchen eine stetige Multiplikation erklärt ist; das heißt: jedem geordneten Punktepaar \((a, \,b)\) ist als Produkt ein Punkt \(a \cdot b\) desselben Raumes zugeordnet, der stetig vom Paar \((a, \,b)\) abhängt (die Gültigkeit des assoziativen Gesetzes wird also nicht gefordert). Ein solcher Raum soll \(\varGamma\)-Raum heißen. Gibt es bezüglich der Multiplikation ein Einselement \(e(a \cdot e=e \cdot a=a)\), dann wird der Raum \(\varGamma_e\)-Raum genannt. In diesem Fall wird gelegentlich auch angenommen, daß ``das Inverse existiert'', d. h. daß es zu jedem Punkt \(a\) einen Punkt \(a^{-1}\) mit \(a \cdot a^{-1}=e\) gibt, der von \(a\) stetig abhängt. (Jeder Gruppenraum ist ein \(\varGamma_e\)-Raum mit Inversem.) Es seien \(R\) ein \(\varGamma\)-Raum, \(X\) ein Kompaktum, \(f(x)\) und \(g(x)\) zwei stetige Abbildungen von \(X\) in \(R\), \(f\) (und \(g\)) die Klasse homotoper Abbildungen von \(X\) in \(R\), die \(f(x)\) (und \(g(x)\)) enthält; dann soll \(f \cdot g\) die Klasse bezeichnen, die \(f(x) \cdot g(x)\) enthält. \(\pi_n(R)\) sei die \(n\)-te Homotopiegruppe von \(R\), und für \(f, \,g \in \pi_n(R)\) bedeute \(f+g\) die nach Hurewiczscher Vorschrift auszuführende Addition der Homotopieklassen. \textit{Satz I}: \(R\) sei ein \(\varGamma\)-Raum; für \(f_i, \,g_i \in \pi_n(R)\), \(i=1, \,2\), gilt bei beliebigem \(n: (f_1+f_2) \cdot (g_1+g_2)=(f_1 \cdot g_1)+(f_2 \cdot g_2)\). \textit{Satz II}: \(R\) sei ein \(\varGamma_e\)-Raum; für \(f, \,g \in \pi_n(R)\) gilt bei beliebigem \(n:f \cdot g=f+g\). (In einem \(\varGamma_e\)-Raum fällt also die Multiplikation \(f \cdot g\) der Homotopieklassen mit der Hurewiczschen Addition zusammen und ist somit von selbst assoziativ.) In einem \(\varGamma_e\)-Raum wird die Potenz \(a^k\) durch \(a^0=e\), \(a^k=a \cdot a^{k-1}\) definiert. \textit{Satz III}: \(R\) sei ein \(\varGamma_e\)-Raum; für \(f \in \pi_n(R)\) gilt bei beliebigem \(n:f^k=kf\) für alle ganzen Zahlen \(k \geqq 0\) und, wenn das Inverse existiert, auch für \(k < 0\). \textit{Salz IV}: \(R\) sei ein \(\varGamma_e\)-Raum; \(S^n\) sei die \(n\)-dimensionale Sphäre; für \(f, \,g \in \pi_n(R)\), \(h \in \pi_r(S^n)\) gilt bei beliebigem \(n\) und \(r\): \((f+g)h=fh+gh\), also auch \((-f)h=-(fh)\). (Übrigens gilt immer \(f(g+h)=fg+fh\).) Im zweiten Teil wendet Verf. diese Ergebnisse an auf den Fall einer \(m\)-dimensionalen Sphäre \(S^m\), die \(\varGamma_e\)-Raum ist. (Solche sind \(S^3\) und \(S^7\).) \(T_k\) bezeichnet eine Abbildung der \(S^m\) in sich vom Grade \(k\). \textit{Satz V}: \(S^m\) sei ein \(\varGamma_e\)-Raum; dann gilt für \(f \in \pi_n(S^m)\) bei beliebigem \(n\) und \(k:T_kf=kf\). \textit{Satz VI}: Es gilt \(T_kf=kf\) für \(f \in \pi_{r+d}(S^r)\) mit \(d \leqq 7\), \(r > d + 1\) (und mit \(d \leqq 7\), \(r = d + 1\), \(y(f) = 0\), wo \(\gamma\) die Hopfsche Invariante bedeute). \textit{Corollar}: Es gilt \(T_2f=0\) für \(f \in \pi_{r+1}(S^r)\), \(r \geqq 3\). (Dagegen ist \(T_{-1}f=f\) für \(f \in \pi_n(S^2)\), \(n \geqq 3\).) Im dritten Teil bestimmt Verf. die dritte, vierte und fünfte Homotopiegruppe \(r\) orthogonalen Gruppen unter Verwendung einer früheren Arbeit (Comment. math. Helvetici 15 (1942), 1-26; F.~d.~M. 68). \(\varGamma_n\) bedeute die Gruppe aller orthogonalen \((n+1)\)-reihigen Matrizen mit der Determinante \(+1\), \(\mathfrak{G}\) die additive Gruppe der ganzen Zahlen, \(\mathfrak{G}_2\) die Restklassengruppe von \(\mathfrak{G}\) mod 2 (\(\approx\) bedeutet isomorph). \textit{Satz VII}: Für \(n \geqq 4\) ist \(\pi_3(\varGamma_n) \approx \mathfrak{G}\), für \(n \geqq 5\) ist \(\pi_4(\varGamma_n)=0\), für \(n \geqq 6\) ist \(\pi_5(\varGamma_n)=0\), \(\pi_3(\varGamma_2) \approx \mathfrak{G}\), \(\pi_3(\varGamma_3) \approx \mathfrak{G}+\mathfrak{G}\), \(\pi_4(\varGamma_2) \approx \mathfrak{G}_2\), \(\pi_4(\varGamma_3) \approx \mathfrak{G}_2+\mathfrak{G}_2\), \(\pi_4(\varGamma_4) \approx \mathfrak{G}_2\), \(\pi_5(\varGamma_2) \approx \mathfrak{G}_2\), \(\pi_5(\varGamma_2)=0\), \(\pi_5(\varGamma_3)=0\), \(\pi_5(\varGamma_4)=0\), \(\pi_5(\varGamma_5) \approx \mathfrak{G}\).