Mathematik als Problem des Formalismus und der Realisierung. (Q2579555)

Verf. stellt für die mathematische Grundlagenforschung zwei große Probleme heraus. Einmal handelt es sich um die Aufstellung eines Relationsgefüges, eines Axiomensystems im Sinne des mathematischen Formalismus, das mit bedeutungsfreien Symbolen nach festgesetzten Regeln operiert und von dem man nachweisen muß, daß es widerspruchsfrei, unabhängig und vollständig ist. Zum anderen muß man von diesem Begriffsformalismus aus auf steigen zu einer inhaltlichen, materialen Bestimmtheit des Formalen, zu seiner sinnvollen Deutung. Verf. bedauert, daß die zweite Aufgabe gegenüber der ersten in der Mathematik fast vollständig in den Hintergrund getreten ist, obwohl die beiden Problemkreise nicht voneinander zu trennen sind. Für diese Entwicklung macht er besonders die Hilbertschen ''Grundlagen der Geometrie'' verantwortlich. Nur von H. Dingler sind nach Ansicht des Verf. beide Aufgaben als zusammengehörig erkannt und gleichzeitig berücksichtigt worden. -- Unserer Ansicht nach wird in dem Aufsatz nicht scharf unterschieden zwischen dem Formalismus als einer besonderen Untersuchungsmethode der Mathematik und dem Formalismus als philosophischer Ansicht über das Wesen der Mathematik. Nur nach der zweiten Auffassung erschöpft sich das Mathematische in einem Spiel mit bedeutungsleeren Symbolen oder Begriffen. Von Hilbert ist jedenfalls diese Auffassung nie vertreten worden, weder in den ``Grundlagen der Geometrie'', noch in seiner Beweistheorie. Wird doch in den Aufsätzen über die letzte wiederholt gesagt, daß die Zeichen nur Abbilder sind von mathematischen Ideen. Etwas ganz anderes ist es aber, wenn man für einen bestimmten methodischen Zweck (Widerspruchsfreiheitsbeweis u. dgl.) vorübergehend, um nicht in einen logischen Zirkel zu geraten, von der Bedeutung der eingeführten Symbole absieht. Es soll dabei nicht verkannt werden, daß die Warnung des Verf. nicht ganz unberechtigt ist. Es gibt gewisse Entwicklungen in der Logistik (z. B. Aufstellung von mehrwertigen Logiken u. ä.), bei denen eine sinnvolle Deutung des eingeführten Kalküls nicht mehr gegeben, u. U. auch gar nicht gesucht wird.