Die Logik und das Grundlagenproblem. (Q2579579)

Dieser Vortrag ist ein Musterstück der Feinstrukturforschung der Warschauer Schule. Er ist ein ungewöhnlich erleuchtender Beitrag zur Theorie der \(n\)-wertigen Aussagenkalküle für \(2\leqq n\leqq \aleph_0\). Da der Bericht, in dem dieser Vortrag abgedruckt ist, bis auf weiteres nur wenigen zugänglich sein wird, so wird ein Überblick über die originalen Mitteilungen erwünscht sein, die für die Forschung von allgemeinem Interesse sind. (1) Ein neues unabhängiges Axiomensystem des klassischen Aussagenkalküls in den fünf Hilbert-Bernays-Konstanten, dessen Konstruktion durch eine Preisaufgabe der Schule von Münster veranlaßt worden ist. Dieses System besteht aus fünf dreigliedrigen Axiomengruppen: I. die \(C\)-Gruppe: 1. \(CpCqp\), 2. \(CCpCpqCpq\), 3. \(CCpqCCqrCpr\). II. die \(CK\)-Gruppe: 4. \(CKpqp\), 5. \(CKpqq\), 6. \(CCpqCCprCpKqr\). III. die \(CA\)-Gruppe: 7. \(CpApq\), 8. \(CqApq\), 9. \(CCprCCqrCApqr\). IV. die (vom Verf. unterdrückte) \(CE\)-Gruppe: 10. \(CEpqCpq\), 11. \(CEpqCqp\), 12. \(CCpqCCqpEpq\). V. die \(CN\)-Gruppe: 13. \(CCpNqCqNp\), 14. \(CNpCpq\), 15. \(CCCpNpqCCpqq\). -- 1-12 sind die Bernays-Axiome des von B. so genannten positiv identischen Kalküls (\textit{Hilbert-Bernays}, Grundlagen der Mathematik I (1934; JFM 60.0017.*), 66, 69; II (1939; F. d. M. 65, 21 (JFM 65.0021.*)), 422-450). Sie liefern genau die N-freien Sätze des Heyting-Kalküls. Entscheidend für das Interesse an diesem Axiomensystem ist die CN-Gruppe. Sie ist so konstruiert, daß (unter Voraussetzung der Einsetzungs- und der Abtrennungsregel) Folgendes gilt: 1-15 liefert den klassischen, 1-14 den Heytingschen Aussagenkalkül, 1-13 den Minimalkalkül von \textit{J. Johannsson} (Compositio math., Groningen, 4 (1936), 119-136; JFM 62.1045.*). - Wird 15 ersetzt durch 15a. \(CCNpqCCCqpqq\), so erhält man, auf Grund einer schönen zusätzlichen Entdeckung des Verf., genau die Erfüllungsmenge der Heyting-Matrix XII (``Die formalen Regeln der intuitionistischen Logik'', S.-B. Preuß. Akad. Wiss., phys.-math. Kl. 1930, 42-56, 57-71, 158-169 (JFM 56.0823.*), insbes. S. 56), mit deren Hilfe die Unabhängigkeit von 15 gezeigt werden kann. (2) Ein neues einzahliges Axiomensystem für den klassischen C-Kalkül. Dieses System enthält als einziges Axiom das Axiom \(L\): \(CCCpqrCCrpCsp\). Ref. ist auf Grund einer persönlichen Information in der Lage mitzuteilen, daß es \textit{I. Słupecki}, einem Schüler des Verf., inzwischen gelungen ist zu zeigen, daß \(L\) nicht nur das effektiv kürzeste, sondern ein absolut kürzestes Axiom für den klassischen \(C\)-Kalkül ist. (3) Über den vom Verf. zur Formalisierung der Möglichkeitslogik ersonnenen dreiwertigen Aussagenkalkül \(L\)* in \(C\), \(N\), \(T\) kann jetzt folgendes gesagt werden: a) \(L\)* ist die Erfüllungsmenge der Matrix \[ \frac{\,N\;|\hfill}{\left.\,\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\,\right|\begin{matrix} 3\\2\\1\end{matrix}\,}\;\;\frac{\,T\;|\hfill}{\left.\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\,\right|\begin{matrix} 2\\2\\2\end{matrix}}\;\;\frac{C\;|\;123\,}{\left.\begin{matrix} 1\\2\\3\end{matrix}\,\right|\begin{matrix} 123\\112\\111\end{matrix}}\qquad \raise7pt \] mit dem ausgezeichneten Wert 1. b) \(L\)* ist axiomatisierbar durch das (unabhängige) System \textit{Wajsberg-Slupecki}: 1. \(CpCqp\), 2. \(CCpqCCqrCpr\), 3. \(CCCpNppp\), 4. \(CCNpNqCqp\), 5. \(CTpNTp\), 6. \(CNTpTp\). c) \(L\)* ist widerspruchsfrei und vollständig (1) im semantischen (siehe a)), (2) im syntaktischen oder Postschen Sinne, (3) im ausdruckstechnischen Sinne: Jede über den Matrizenwerten definierbare Funktion ist darstellbar in \(C\), \(N\), \(T\). \(L\)* hat also die drei Vollständigkeitseigenschaften des klassischen Aussagenkalküls. \(L\)* ist der einzige mehr-als-zweiwertige Kalkül, für den dies bis jetzt hat gezeigt werden können. Ist \(L\)* auch befriedigend interpretierbar? Diese Frage steht im Mittelpunkt des ziemlich ausführlichen Diskussionsberichtes, der an den Abdruck des Vortrages angeschlossen ist. Es scheint mir, daß man den Diskussionsrednern wird zustimmen müssen, die diese Frage verneint haben. Um weiter zu kommen, wird man versuchen müssen, die Interpretierbarkeit für mehr-als-zweiwertige Kalküle zu präzisieren in einem Sinne, der analog ist zu dem, was heute auf der Basis der Tarskischen Semantik für den klassischen Aussagenkalkül geleistet werden kann. Hier stößt man (im Einklang mit dem Verf.) auf eine Aufgabe, deren stufenweise Bezwingung viel wichtiger ist als die unbegrenzte Produktion von ungedeuteten Formalismen. Eine Aufgabe, für welche Frege der einzige ist, der ihre seitdem im allgemeinen Falle mit einer befremdenden Hartnäckigkeit übersehene Bedeutung schon vor 50 Jahren bemerkt hat.