Das Zahlensystem. (Q2579604)

Der vorliegende erste Teil der Arbeit behandelt nur die ganzen Zahlen. Nachdem in der üblichen Weise die natürlichen Zahlen durch das Ausgehen von dem Zählen und Vergleichen von endlichen Mengen eingeführt worden sind, wird die Zahl Null durch Erweiterung der Subtraktion \(a - b\) auf den Fall \(a = b\) gewonnen. Um zu den negativen Zahlen zu gelangen, wird das Symbol \((a, b)\) eingeführt, das \(a- b\) bedeuten soll und ebenso wie früher die positiven Zahlen und die Null auch als Zahl bezeichnet wird. Es wird definiert \((a,b )\gtreqqless(c,d)\), je nachdem \(a + d\lesseqqgtr b+c\) ist, \((a, b)+(c, d)=(a+c, b+d)\) und \((a, b)\cdot (c, d)=(ac+bd, ad+bc)\). Es wird die Übereinstimmung der neuen Definitionen mit den früheren für den Fall \(a\geqq b\) gezeigt; für diesen Fall hat die neue Zahl \((a, b)\) stets einen Repräsentanten unter den früheren Zahlen \(a\geqq 0\). Für \(a < b\) aber fehlt ein solcher Repräsentant. In diesem Fall ist \((a, b)<(0,0)\) oder \(< 0\) und wird als negative Zahl bezeichnet. Mit der Betrachtung der Rechenregeln für das so gewonnene Gebiet der ganzen Zahlen schließt der Artikel.