A criterion for solvability by radicals. (Q2579661)

Das galoissche Kriterium: Die Auflösbarkeit der Gruppe ist im wesentlichen entscheidend für die Auflösbarkeit der Gleichung durch Radikale, gilt i. a. nur bei Charakteristik Null. Verf. setzt sich zum Ziel, ein Auflösbarkeitskriterium zu geben, das für beliebige Körper gültig ist. In einem vorbereitenden ersten Abschnitt werden Eigenschaften zyklischer Gleichungen über einem Körper von Primzahlcharakteristik \(p\) bewiesen. Ein absolut algebraischer Körper \(A_{p,m}\) der Charakteristik \(p\) ist durch seinen absoluten Grad \(m\) bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. Lemma: Ist \(f(x)\) ein in \(A_{p, m}\) irreduzibles Polynom vom Grade \(n\) und \(m\) ein Teiler von \(m'\), \(\delta =\biggl(n, \dfrac{m'}{m}\biggr)\), so zerfällt \(f(x)\) in \(A_{p, m'}\) in \(\delta \) verschiedene irreduzible Faktoren vom Grade \(\dfrac{n}{\delta }\). Der Beweis erfolgt durch Ausnutzung der Tatsache, daß die Koeffizienten von \(f(x)\) bereits in einem endlichen, in \(A_{p,m}\) enthaltenen Körper liegen. -- Für \(n\not\equiv 0\) mod \(p\) bezeichne \(g_n(x)\) das Kreisteilungspolynom (dessen Nullstellen die primitiven \(n\)-ten Einheitswurzeln sind) und \(T_{n}\) den Wurzelkörper von \(g_n(x) = 0\) über einem Körper \(K\) der Charakteristik \(p\). Aus obigem Lemma folgen ohne weiteres die Sätze: Es seien \(m\) der absolute Grad des maximalen, absolut algebraischen Unterkörpers von \(K\), \(d= (\varphi (n), m)\) und \(e\) der Exponent von \(p^d\) mod \(n\). Dann zerfällt \(g_n(x)\), in \(K\) in \(\dfrac{\varphi (n)}{e}\) verschiedene, irreduzible, separable Faktoren, je vom Grade \(e\). Die galoissche Gruppe von \(g_n(x)\) in bezug auf \(K\) ist zyklisch von der Ordnung \(e\). Notwendig und hinreichend für die Irreduzibilität von \(g_n(x)\) in \(K\) ist, daß \(p\) eine Primitivwurzel modulo \(n\) und \((\varphi (n), m)=1\) ist. 2. Abschnitt. Reine Erweiterung und Auflösung durch Radikale werden wie üblich definiert, \(f(x)\) sei jetzt ein Polynom in einem beliebigen Körper \(K_{0}\) und \(n\) die Ordnung der galoisschen Gruppe \(\mathfrak G\) von \(f(x)\) in bezug auf \(K_{0}\). Das Auflösbarkeitskriterium lautet: \(f(x)\) ist dann und nur dann über \(K_{0}\) durch Radikale auflösbar, wenn 1) \(\mathfrak G\) auflösbar ist, 2) primitive \(n\)-te Einheitswurzeln über \(K_{0}\) existieren und das Kreisteilungspolynom \(g_n(x)\) über \(K_0\) durch Radikale auflösbar ist. -- Für Körper \(K_{0}\) der Charakteristik Null ist 2) von selbst erfüllt. Verf. zeigt schließlich, daß auch bei Charakteristik \(p\) sein Kriterium in eine zahlentheoretische Bedingung für die Indexreihe umgeschrieben werden kann: Die Indexreihe von \(\mathfrak G\) muß aus lauter Primzahlen bestehen, die zur Klasse \(C_{p,m}\) gehören (\(C_{p, m}\) ist eine Klasse von Primzahlen, die nur von \(p\) und \(m\) abhängt und vom Verf. genau angegeben wird).