Über die Lage der Wurzeln von algebraischen Gleichungen. (Q2579681)

Es sei \[ \displaylines{\rlap{\qquad\!(1)} \hfill f(z) =z^n+a_1z^{n-1}+\dots +a_{n-1}z+a_n=0\hfill} \] eine algebraische Gleichung mit beliebigen komplexen Koeffizienten. Bezeichnen wir mit \(\zeta \) und \(\zeta _1\) die (einzigen) positiven Wurzeln der Gleichungen \[ x^n-|\,a_1\,|\,x^{n-1}-\dots -|\,a_{n-1}\,|\,x-|\,a_n\,|=0 \] und \[ x^{n-1}-|\,a_1\,|\,x^{n-2}-\dots -|\,a_{n-1}\,|=0, \] so hat man \(\zeta _1<\zeta \). Aus dem Kreis \(|\,z\,|\leqq \zeta \) entfernen wir die \(n\) kongruenten Kreisringsektoren \[ z=re^{i\varphi },\;\zeta _1\leqq r\leqq \zeta,\;\frac{(4p-1)\pi }{2n}<\varphi <\frac{(4p+1)\pi }{2n},\;p=0, 1, 2,\dots, n-1. \] Den übrigbleibenden Bereich bezeichnen wir mit \(Z\). Verf. beweist den folgenden Satz: Ist der Koeffizient \(a_n\) von (1) positiv reell, so enthält der Bereich \(Z\) alle Wurzeln der Gleichung (1). Ist \(a_n=|\,a_n\,|(\cos\, \alpha +i\,\sin\, \alpha )\), wo \(\alpha \neq 0\) ist, so enthält derjenige Bereich die Wurzeln von (1), der aus \(Z\) durch eine Drehung um den Winkel \(\varphi =\dfrac{\alpha }{n}\) entsteht.