The structure of the group ring of a \(p\)-group over a modular field. (Q2579707)

Der aus einer \(p\)-Gruppe \(\mathfrak{G}\) von der Ordnung \(p^a\) über dem Galoisfeld \(GF(p)\) gebildete Gruppenring besitzt ein Radikal \(\mathfrak{N}\) vom Rang \(p^a - 1\) mit der Basis \(G_i-1\) (\(G_i \neq 1\) in \(\mathfrak{G}\)). Ist \(L\) der Exponent von \(\mathfrak{N}\) (\(\mathfrak{N}^L \neq 0\), \(\mathfrak{N}^{L+1}=0\)), so bilden die Systeme \(\mathfrak{K}_{\lambda}\) \((\lambda = 1, \,2,\ldots \!, L+1)\) aller Elemente \(K_{\lambda}\) aus \(\mathfrak{G}\) mit der Eigenschaft \(K_{\lambda} \equiv 1\) mod \(\mathfrak{N}^{\lambda}\) eine absteigende Reihe charakteristischer Untergruppen von \(\mathfrak{G}\), die eine Zentralreihe im Hallschen Sinn ist. Sie läßt sich unter allen Zentralreihen von \(\mathfrak{G}\) durch eine Minimaleigenschaft charakterisieren. Mit Hilfe der Basiselemente und Ordnungen der Abelschen Faktorgruppen \(\mathfrak{K}_{\lambda}/\mathfrak{K}_{\lambda+1}\) werden Basis und Rang der Potenzen \(\mathfrak{N}^{\lambda}\) mod \(\mathfrak{N}^{\lambda+1}\) explizit bestimmt. Die Gruppen des Verf. stehen in einfachem Zusammenhang mit den Dimensionsgruppen, die ihrerseits mit den Untergruppen der absteigenden Zentralreihe identisch sind. Hieraus ergeben sich alle Resultate des Verf. ohne Mühe. (Vgl. Zbl. Math. 25 (1942), 244).