Structure of abelian quasi-groups. (Q2579735)

Verf. versteht unter einer abelschen Quasigruppe \(\mathfrak{G}\) ein System mit abgeschlossener Multiplikation, stets eindeutig ausführbarer linksund rechtsseitiger Division und dem abgeschwächten Assoziativgesetz \((ab)\, (cd) = (ad)\, (bc)\) genau so wie in seiner Arbeit Amer. J. Math. 61 (1939), 509-522 (vgl. das Referat F.~d.~M. 65, 77). Die Quasiuntergruppen von \(\mathfrak{G}\) bilden eine Dedekindsche Struktur. Statt abelscher Quasigruppe sei kurz Quasigruppe gesagt, da erst bei der Besprechung des Teiles IV andere Quasigruppen vorkommen. Darauf wird dann ausdrücklich hingewiesen. Für \((ab)\, (cd)\) schreibt Verf. auch \(ab \cdot cd\). In Teil I nennt Verf. zyklisch eine Quasigruppe mit einer einzigen Erzeugenden. Wegen des Fehlens der Assoziativität kommt den zyklischen Quasiuntergruppen nicht dieselbe Bedeutung zu wie den zyklischen Untergruppen in der Gruppentheorie. Immerhin zeigt Verf.: Die Automorphismen einer zyklischen Quasigruppe bilden eine abelsche Gruppe. Eine zyklische Quasigruppe enthält nur eine minimale Quasiuntergruppe (d. h. eine, die keine leere Quasiuntergruppe als echte Teilmenge enthält). Verf. definiert weiter das direkte Produkt \(\mathfrak{G} \times \mathfrak{H}\) zweier Quasigruppen \(\mathfrak{G}\) und \(\mathfrak{H}\) ganz analog wie bei Gruppen. \(\mathfrak{G}\) und \(\mathfrak{H}\) brauchen hier aber keinen Quasiuntergruppen von \(\mathfrak{G} \times \mathfrak{H}\) isomorph zu sein. Die Folge \(\mathfrak{G}=\mathfrak{R}_0 \supset \mathfrak{R}_1 \supset \mathfrak{R}_2 \supset \cdots \supset \mathfrak{R}_t\) mit \(\mathfrak{R}_i\) als Quasigruppe der Rechtseinheiten von \(\mathfrak{R}_{i-1}\) bricht bei endlichem \(\mathfrak{G}\) mit \(\mathfrak{R}_t\) in der Weise ab, daß in \(\mathfrak{R}_t\) jedes Element Rechtseinheit ist. Verf. nennt \(\mathfrak{R}_t\) Selbsteinheitsquasigruppe. Jedes \(\mathfrak{F}_i=\mathfrak{R}_{i-1}/\mathfrak{R}_i\) hat dann nur eine Rechtseinheit. Nun kommt in II ein sehr schöner Teil der Arbeit. Verf. sucht bei gegebener Quasigruppe \(\mathfrak{H}\) mit \(\mathfrak{R}\) als Quasigruppe der Rechtseinheiten und weiter ebenso gegebener Quasigruppe \(\mathfrak{F}\) mit einer einzigen Rechtseinheit die Gesamtheit aller Quasigruppen \(\mathfrak{G}\) mit \(\mathfrak{H}\) als Normalteiler, so daß \(\mathfrak{G}/\mathfrak{H} \simeq \mathfrak{F}\) ist. Das Problem entspricht dem der Erweiterungstheorie bei Gruppen (vgl. \textit{Zassenhaus}, Gruppentheorie (1937; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 58), 89-93). Verf. zeigt: Seien \(e\) die Rechtseinheit, \(\sigma\), \(\tau\), \(\mu\), \(\varrho\) beliebige Elemente von \(\mathfrak{F}\). Notwendig und hinreichend für die Existenz einer Quasigruppe \(\mathfrak{G}\) mit den geforderten Eigenschaften ist das Vorkommen von Elementen \(C_{\sigma,\tau} \in \mathfrak{H}\), \(E_{\sigma} \in \mathfrak{R}\), wobei folgende drei Bedingungen erfüllt sind: (1) \(C_{\sigma,e}\) ist von \(\sigma\) unabhängig. (2) \(E_{\sigma}E_{\tau}=E_{\sigma \tau}C_{\sigma . \tau}^{\prime}\), wo \(C_{\sigma, \tau}^{\prime}\) die Rechtseinheit von \(C_{\sigma, \tau}\) ist. (3) Wird der als Exponent geschriebene Operator \(S_{\sigma}\) mit \(E_{\sigma} X^{S_{\sigma}}=X\) definiert, so ist \[ C_{\sigma \tau \,, \, \mu \varrho} [C_{\sigma, \tau}C_{\mu, \varrho}]^{S_{\sigma \tau \cdot \mu \varrho}} = C_{\sigma \mu, \tau \varrho} [C_{\sigma, \mu} C_{\tau, \varrho}]^{S_{\sigma \mu \cdot \tau \varrho}}. \] In III zeigt Verf.: Jede Quasigruppe ist das direkte Produkt einer Selbsteinheitsquasigruppe mit einer Quasigruppe, die ein einziges idempotentes Element enthält. In IV zeigt Verf.: Sind \(S\) und \(T\) zwei vertauschbare Automorphismen von \(\mathfrak{G}\), so verknüpft die Operation \(\times\), nämlich \(a \times b = a^T b^S\), die Elemente von \(\mathfrak{G}\) zu einer zweiten Quasigruppe \(\overline{\mathfrak{G}} = (\mathfrak{G}, T, S)\) mit \(\times\) als Multiplikation. Für den Fall, daß \(\mathfrak{G}\) ein idempotentes Element \(e\) enthält, kann man die Automorphismen \(S\) und \(T\) durch \(a^T = ae,\, a^S = ea\) wählen. Es wird dann \(\mathfrak{G} = (\overline{\mathfrak{G}}, T^{-1}, S^{-1})\) und \(\overline{\mathfrak{G}}\) erweist sich als abelsche \textit{Gruppe}. Hat \(\mathfrak{G}\) mehrere idempotente Elemente, so kann man auf diesem Wege mehrere abelsche Gruppen zur Herstellung von \(\mathfrak{G}\) verwenden, diese erweisen sich aber als isomorph. Im weiteren Verlauf der Arbeit läßt dann Verf. die Einschränkung, daß \(\mathfrak{G}\) ein idempotentes Element hat, fallen, indem er mit einem beliebigen Element \(g\) von \(\mathfrak{G}\) die Operatoren \(S\) und \(T\) als \(a^S = ga\), \(a^T = ag\) einführt. Für den Fall der möglichen Verwechslung mit den früheren Operatoren schreibt Verf. teilweise \(S_g\), \(T_g\). Die Verallgemeinerung scheint zunächst zwecklos, denn \(S\) und \(T\) sind nun keine Automorphismen. Indes zeigt Verf., daß diese ``Pseudoautomorphismen'' \(S\) und \(T\) mit den Automorphismen gerade die Eigenschaften gemein haben, auf die es ankommt. Das Ergebnis ist, daß auch durch \(S_g\) und \(T_g\) die Quasigruppe sich aus einer abelschen Gruppe als \((\overline{\mathfrak{G}}, T^{-1}, S^{-1})\) darstellen läßt, wo \(\overline{\mathfrak{G}}\) abelsche Gruppe ist. Für die Selbsteinheitsquasigruppen, die kein idempotentes Element enthalten, versagen beide Verfahren. Hier erhält Verf. den Satz: Eine solche Quasigruppe kann in der Form \((\mathfrak{G},1,U^{-1})\) dargestellt werden, wo \(\overline{\mathfrak{G}}\) eine Quasigruppe ist, in der \textit{jedes} Element idempotent ist. \(U\) ist ein Automorphismus von \(\overline{\mathfrak{G}}\), der jedes Element ändert. \(U\) ist zugleich in dieser Darstellung der Automorphismus von \(\mathfrak{G}\), der jedes Element in seine Rechtseinheit überführt. Im Verein mit dem in III bewiesenen Satz über Darstellung von Quasigruppen durch direkte Produkte ist damit völlige Klarheit über den Aufbau der abelschen Quasigruppen geschaffen. Verf. widerruft in dieser Arbeit ein Gegenbeispiel, durch das er a. a. O., 522, zu zeigen glaubte, daß nicht jede Quasigruppe mit idempotentem Element sich in dieser Art aus abelschen Gruppen herleiten läßt. Die dort angeführte Quasigruppe geht auf die abelsche Gruppe vom Typ (3, 3) zurück. Zuletzt kommt Verf. darauf zu sprechen, daß sich jede (auch nichtabelsche) Quasigruppe mit zwei vertauschbaren Automorphismen und dem abgeschwächten Assoziativgesetz \((ab)\, c = a^T (b c^{S-1})\) durch die oben definierte Operation \(\times\) in eine Gruppe mit \(\times\) als Komposition verwandelt. Hieraus folgt, daß die Lagrangesche Verteilung in Linksrestklassen nach einer Quasiuntergruppe \(\mathfrak{H}\), die \(\mathfrak{H}^T=\mathfrak{H}\) erfüllt, vorgenommen werden kann.