Note on normality in quasi-groups. (Q2579736)

Verf. nennt Quasigruppe \(G\) eine bezüglich einer Multiplikation abgeschlossene Menge, wo die Gleichungen \(ax=b\), \(ya=b\) mit gegebenen \(a\), \(b\) aus \(G\) stets und zwar eindeutig lösbar sind. Weiter setzt er das abgeschwächte Assoziativgesetz von \textit{Hausmann} und \textit{Ore} voraus (Amer. J. Math. 59 (1937), 983-1004; F.~d.~M. 63\(_{\text{I}}\), 61): Ist mit festem \(c_0\) das Element \(d_0\) durch \((ab)\, c_0 = ad_0\) gegeben, so ist \((ab)c = ad\) mit \(d\) als Element der von \(c_0\), \(d_0\), \(c\) erzeugten Quasigruppe \(\{c_0, d_0, c\}\). Dies gibt nach der zitierten Arbeit die Möglichkeit, \(G = \sum a_i H\) nach einer Quasiuntergruppe \(H\) in Linksrestklassen aufzuspalten mit der üblichen Eigenschaft, daß \(aH\) und \(bH\) mit beliebigen \(a\), \(b\) aus \(G\) entweder alle oder kein Element gemein haben. Abweichend von Hausmann und Ore nennt Verf. \(H\) Normalteiler von \(G\), wenn für jedes Paar \(a\), \(b\) in \(G\) die Beziehung \((aH)\, (bH)=(ab) H\) gilt. -- Bemerkt sei, daß sich die abgeschwächte Assoziativität und die Normalteilerdefinition \textit{nicht} mit den bezüglichen Begriffen in der Arbeit des Verf. Amer. J. Math. 61 (1939), 509-522 (F.~d.~M. 65\(_{\text{I}}\), 77) decken. Verf. beweist: (1) Genau dann, wenn \(H\) alle Rechtseinheiten enthält, gilt für jedes \(h\) in \(H\) die Beziehung \(aH = (ah) H\). Die beiden folgenden Sätze werden nur für endliche Quasigruppen bewiesen: (2) Sind \(H\) und \(K\) Normalteiler, die beide sämtliche Rechtseinheiten enthalten, so ist der Durchschnitt \(H \cap K\) Normalteiler, ebenso die Vereinigung (das Erzeugnis) \(H \cup K\) und zwar ist \(H \cup K = HK\). (3) Die Normalteiler, die sämtliche Rechtseinheiten enthalten, bilden eine Dedekindsche Struktur, d. h. es gilt außer (2) für jedes Tripel \(H\), \(K\), \(M\) aus ihnen mit \(H \subset M\) die Beziehung \(M \cap (H \cup K) \subset H \cup (M \cap K)\). Wird die Normalteilerdefinition enger gefaßt, ist nämlich eine Quasiuntergruppe \(H\) erst dann Normalteiler von \(G\), wenn für jedes Tripel \(a\), \(b\), \(h\) mit \(a, b \in G\), \(h \in H\) stets \((ah)\, (bH)=(ab) H\) und \((aH)(bh) = (ab)H\) ist, so gilt, wie Verf. beweist, (2), (3) auch für unendliche Quasigruppen.