On generalized rings. (Q2579748)

Verf. betrachten verallgemeinerte Ringe \(\mathfrak{R}\). Es sind dies Systeme, in denen zwei als Addition und Multiplikation bezeichnete und geschriebene Operationen möglich sind. Bezüglich der Addition sollen die Elemente eine (nicht notwendig kommutative) Gruppe bilden, während über die Multiplikation zunächst nichts vorausgesetzt sei. Dies genügt schon, um in Kap. I den Begriff der Rechts- und Linksideale in üblicher Art zu entwickeln. Bei zwei Idealen \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{b}\) sei \(\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}\) in üblicher Bezeichnungsweise der Durchschnitt, während die Vereinigung \(\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b}\) das mengentheoretisch wenigst umfassende Ideal derselben Art -- je nach dem Zusammenhang Links-, Rechts-, zweiseitiges Ideal --, das \(\mathfrak{a}\) und \(\mathfrak{b}\) als Teilmengen enthält, bedeutet. Gilt noch das abgeschwächte Distributivgesetz I: \(c (a + b) = a_1 + b_1\) wo \(a_1\) und \(b_1\) bzw. zu den von \(a\) und \(b\) erzeugten Linksidealen gehören, so genügt dies, um die Dedekindsche Relation \(\mathfrak{c} \cap (\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b}) = \mathfrak{a} \cup (\mathfrak{c} \cap \mathfrak{b})\), \(\mathfrak{c} \supset \mathfrak{a}\) für Linksideale zu zeigen. Mit dem über I noch hinausgehenden schwachen Distributivgesetz \(a(b+c)=ab+c_1\) wo \(c_1\) zu dem von \(c\) erzeugten Linksideal gehört, gilt für ein gegebenes Linksideal \(\mathfrak{a}\) aus \(\mathfrak{R}\), daß \(\mathfrak{R}\) zu \(\mathfrak{R}/\mathfrak{a}\) homomorph ist. Es folgen noch einige Bemerkungen über Operatoren an Idealen. Kap. II behandelt zunächst Idealprodukte. Seien Linksideale \(\mathfrak{a}\), \(\mathfrak{b}\) gegeben. Das durch alle Produkte \(ab\), wo \(a \in \mathfrak{a}\), \(b \in \mathfrak{b}\) ist, erzeugte Linksideal heißt das Produkt ab. Daneben tritt noch das sogenannte Bilinearprodukt \(\mathfrak{a} \cdot \mathfrak{b}\) auf, bestehend aus allen Elementen \(\sum a_ib_i\) mit \(a_i \in \mathfrak{a}\), \(b_i \in \mathfrak{b}\). Das Bilinearprodukt braucht kein Ideal zu sein; ist es aber ein solches, so fällt es mit dem Idealprodukt zusammen. Hierzu sind weitere Bedingungen hinreichend, von denen das abgeschwächte Assoziativ-Distributivgesetz genannt sei: Es möge -- auch weiterhin -für Elemente \(m\), \(n\), \(p\), \(\ldots\) aus \(\mathfrak{R}\) mit \(\{m, n, p,\ldots \}_l\) das aus \(m\), \(n\), \(p\), \(\ldots\) erzeugte Linksideal bezeichnet werden. Für zwei endliche Mengen \(b_1, \ldots \!, b_n\) und \(c_1, \ldots \!, c_n\) gilt dann \(\sum b_i c_i = \sum b_i^{\prime} c_i^{\prime}\) mit \(b_i^{\prime} \in \{ b_1, \ldots \!, b_n\}_l\), ebenso \(c_i^{\prime} \in \{ c_1, \ldots \!, c_n\}_l\). Die distributive Idealrelation \((\mathfrak{a} \cup \mathfrak{b})\mathfrak{c}=\mathfrak{a}\mathfrak{c} \cup \mathfrak{b}\mathfrak{c}\) erfordert das abgeschwächte Distributivgesetz II: Für ein beliebiges Elementetripel \(a\), \(b\), \(c\) und ein viertes Element \(d\) aus \(\{ a,b \}_l\) gehört das Produkt \(dc\) zu dem Ideal \(\mathfrak{m}=\{ \ldots \!, a_i c_i, \ldots \!, b_i c_i, \ldots \}_l\), wo die \(a_i \in \{ a \}_l\), \(b_i \in \{ b \}_l\), \(c_i \in \{ c \}\) sind. Das letzte ist das durch \(c\) erzeugte zweiseitige Ideal. Bei Gültigkeit des Distributivgesetzes II gilt auch: Hat \(\mathfrak{R}\) ein Einselement, und gelten die Zerlegungen \[ \mathfrak{R} = \mathfrak{a}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{a}_n = \mathfrak{b}_1 \cup \cdots \cup \mathfrak{b}_m \] in zweiseitige Ideale, so können die beiden Zerlegungen so verfeinert werden, daß sie identisch werden. Es folgen noch einige Sätze über Residuale, d. h. links- und rechtsseitige Idealquotienten, die sich genau wie bei nichtkommutativen Ringen erklären lassen. Kap. III enthält interessante Anwendungen auf Gruppen. Wird die Komposition zweier Elemente einer Gruppe, auch wenn sie nicht kommutativ ist, als Addition geschrieben, weiter der Kommutator zweier Elemente \(a\) und \(b\), der dann \(a + b - a - b\) ist, als Produkt \(a \bigcirc b\), so wird die Gruppe ein Ring \(\mathfrak{R}\), die Normalteiler sind die Ideale, jedes Ideal ist zweiseitig, die abgeschwächten Distributivgesetze erweisen sich als erfüllt. Man erhält so gruppentheoretische Sätze als Spezialfälle der Sätze in Kap. I, II.