Divisors of zero in matric rings. (Q2579750)

Sei \(R\) ein kommutativer Ring mit Einselement, \(R_n\) der (nichtkommutative) Ring der \(n\)-reihigen quadratischen Matrizen mit Elementen aus \(R\), \(R[\lambda]\) der Polynomring über \(R\) mit der Unbestimmten \(\lambda\), \(A\) ein Element von \(R_n\), \(|\, A \,|\) wie üblich die Determinante von \(A\), \(R[A]\) entstehe aus \(R[\lambda]\), indem man \(\lambda\) durch \(A\) und das Einselement von \(R\) durch die \(n\)-reihige Einheitsmatrix \(E\) (Einselement von \(R_n\)) ersetzt. Verf. beweist eine Reihe von Sätzen, die für den Fall, daß \(R\) Körper ist, bekannt sind: Genau dann, wenn \(|\, A \,|\) Nullteiler in \(R\) ist, ist \(A\) Nullteiler in \(R[A]\). Aus zwei Elementen \(f\), \(g\) von \(R[\lambda]\) werde die Resultante \(\mathfrak{R}(f,g)\) formal als Sylvestersche Determinante gebildet. Sei von jetzt an \(f=|\, \lambda E - A \,|\). Heißt \(\mathfrak{m}\) das Ideal aller Elemente \(h(\lambda)\) von \(R[\lambda]\) mit \(h(A) = 0\) (Nullmatrix), so ist ein Element \(g(\lambda)\) von \(R[\lambda]\) genau dann zu \(\mathfrak{m}\) prim, wenn es zu \(f(\lambda)\) prim ist. Hierzu ist wieder notwendig und hinreichend, daß \(\mathfrak{R}(f, g)\) nicht Nullteiler in \(R\) ist. Ein weiterer Satz gilt unter der Voraussetzung, daß in \(R\) jedes Ideal endliche Basis hat. Es sei \(h_{ij}(\lambda)\) der Minor der \(i\)-ten Zeile und \(j\)-ten Spalte in \(\lambda E - A\), \(\mathfrak{a}\) das durch die \(h_{ij}(\lambda)\) erzeugte Ideal. Es ist genau dann \(\mathfrak{m} = (f(\lambda))\) oder nach einem Sylvesterschen Ausdruck genau dann die Matrix \(A\) unbenachteiligt (not derogatory), wenn es mindestens ein \(b \in R\), \(b \equiv 0\) mod \(\mathfrak{a}\) gibt, das in \(R\) nicht Nullteiler ist.