Über die Zerlegungsgesetze der rationalen Zahlen in Quaternionen-Körpern. (Q2579795)

In seiner Arbeit ``Idealtheorie in Quaternionenalgebren'' (Math. Ann., Berlin 99 (1928), 1-29; F. d. M. 54, 163 (JFM 54.0163.*)) hat Verf. ein bestimmtes quadratisches Anordnungsschema für die Klassen primitiver, komponierbarer, quaternärer, quadratischer Formen von fester Diskriminante \(d^2\) und fester Signatur angegeben. Ist \(h\) die Anzahl der verschiedenen Klassen, dann hat das Schema \(h\) Zeilen und Spalten. In der Diagonale stehen dabei alle diejenigen Klassen, welche die Zahl 1 darstellen. Man denke sich für die Klassen bestimmte Repräsentanten \(Q_{\varrho \sigma }\) in das Schema eingetragen, wobei \(\varrho \) Zeilenindex und \(\sigma\) Spaltenindex bedeutet. Man betrachte nur positive Formen und bezeichne mit \(a (m, Q_{\varrho \sigma})\) die Anzahl der Darstellungen der natürlichen Zahl \(m\) durch die quadratische Form \(Q_{\varrho \sigma}\). Nun bildet man die Matrix \[ \lambda (m) \left( \frac {a (m, Q_{\varrho \sigma})} {a (1, Q_{\sigma \sigma})}\right), \quad (\varrho \sigma = 1, 2, \dots, n). \] Verf. gibt dann an, wie man die Formel \(\lambda (m_1) \lambda (m_2) = \lambda (m_1m_2)\) für \((m_1, d) = (m_2, d) = 1\) und die Formel \(\lambda (m_1) \lambda (m_2) = \lambda (m_2) \lambda (m_1)\) für beliebiges natürliches \(m_1\) und \(m_2\) beweist. Dabei werden Sätze aus der zitierten Arbeit des Verf. und aus weiteren Arbeiten des Verf. über die Komponierbarkeit quaternärer quadratischer Formen angewandt. Man vergleiche hierzu \textit{E. Hecke}, ``Analytische Arithmetik der positiven quadratischen Formen'' (Danske Vid. Selsk. mat.-fysiske Medd. 17 (1940) Nr. 12; F. d. M. 66, 128 (JFM 66.0128.*)), insbesondere \S\, 9. Hier wird auch der Zusammenhang der \(\lambda (m)\) mit den Heckeschen Operatoren \(T^q_m\) angegeben.