Untersuchungen über ungerade vollkommene Zahlen. (Q2579826)

Mit Hilfe der schon von Euler herrührenden Primfaktorenzerlegung einer ungeraden vollkommenen Zahl \[ n = p^\alpha q_1^{2\beta_1} q_2^{2\beta_2} \cdots q_r^{2\beta_r} \] mit \(p \equiv \alpha \equiv 1\) mod 4 und unter Anwendung einiger Sätze über Kreisteilungspolynome mit ganzzahligen Veränderlichen, welche bei Anwendung der Klassenkörpertheorie mit wenigen Strichen hätten abgeleitet werden können, beweist Verf.: Es ist für vollkommene ungerade Zahlen \[ \max.\, (p, q_1, \dots, q_r) > 2 \max . (\alpha + 1, 2 \beta_1 + 1, \dots, 2\beta_r + 1). \] Gilt \(t\, | \,2\beta_\varrho + 1\) für jedes \(1 \leqq \varrho \leqq r\), so gilt \(t^4\, |\, n\). Ist jedes \(2\beta_\varrho + 1 = l^{\xi_\varrho}\) mit \(l\) als Primzahl, so muß \(p\equiv 1\) mod \(l\), \(\dfrac {\alpha + 1}2 \equiv 0\), 1 mod \(l\) sein. Hieraus folgt unter anderm, daß eine solche Zahl mit \(l =5\), z.B. eine Zahl \(p^\alpha q_1^{4} q_2^{4} \cdots q_r^{4}\), ebenso eine Zahl \(n\) mit \(3^2\), \(3\cdot 5\), \(3\cdot 7\), \(3\cdot 11\) als gemeinsamem Teiler der \(2\beta_\varrho + 1\) nicht vollkommen ist.