Bemerkungen zur additiven Zahlentheorie. I. Mittlere Ordnung. (Q2579875)

\(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\) usw. seien Mengen nicht negativer ganzer Zahlen, speziell \(\mathfrak Z = \{0, 1, 2,\dots \}\); \(\mathfrak A_1 + \cdots + \mathfrak A_n = \sum\limits_{\nu = 1}^n \mathfrak A_\nu = \mathfrak C\) sei die Menge aller \(a_1 + a_2 + \cdots + a_n\), \(a_\nu \in \mathfrak A_\nu\); \(A(x)\) (\(B(x)\) usw.) bedeute die Anzahl aller positiven \(a\leqq x\) in \(\mathfrak A\), \(\delta (\mathfrak A)\) (\(\delta (\mathfrak B)\)) usw.) die Dichte von \(\mathfrak A\), d. h. \(\delta (\mathfrak A) \underset{n=1, 2, \dots} {\underline{\text{fin}} } \dfrac {A(n)}{n}\). \(\mathfrak A\) heißt eine Basis von \(\mathfrak Z\), wenn \(k \mathfrak A = \sum\limits_{r=1}^h \mathfrak A = \mathfrak Z\) für ein gewisses \(h\) ist. Das kleinste \(h\) heißt die Ordnung. Offenbar muß \(\{0,1\} \subset \mathfrak A\) sein. \(l(m)\) sei die minimale Summandenanzahl unter allen Darstellungen von \(m\) als Summe von Elementen aus \(\mathfrak A\). \(\mathfrak A\) heißt eine wesentliche Komponente, wenn für jede Menge \(\mathfrak B\) mit \(\delta (\mathfrak B) > 0\) gilt: \(\delta (\mathfrak A + \mathfrak B) > \delta (\mathfrak B)\). Nach \textit{Erdös} (Acta arithm., Warszawa, l, (1936), 197-200; F. d. M. \(62_{\text{I}}\), 152) ist jede Basismenge endlicher Ordnung eine wesentliche Komponente. Für den Beweis wird von \(\mathfrak A\) nur die sofort ersichtliche Beziehung (1) \(\sum\limits_{m=1}^x l(m)\leqq hx\) verwendet, so daß, wie \textit{Landau} (Cambridge Tracts 35 (1937); F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 129), Kap. 2, \S\, 4) bemerkte, alle Mengen \(\mathfrak A\) mit (2) \(\sum\limits_{m=1}^x l(m) \leqq \lambda x\), \(\lambda\) konstant, bereits wesentliche Komponenten sind. Verf. beweist den überraschenden Zusammenhang, daß durch (2) nicht mehr Mengen erfaßt werden als durch (1), also auch nur Basismengen. Verf. führt \textit{die mittlere Ordnung von} \(\mathfrak A\) durch \(\lambda_{\mathfrak A}= \underset{x=1,2,\dots} {\overline{\text{fin}}} \dfrac 1x \sum\limits_{m=1}^x l(m)\) ein und zeigt (\(h=\)) \(h_{\mathfrak A} <2\lambda_{\mathfrak A }\), eine Abschätzung, die, wie Verf. durch ein Beispiel beweist, nicht allgemein verbessert werden kann. Des weiteren werden noch die folgenden Relationen hergeleitet: \[ \lambda_{\mathfrak A } = h_{\mathfrak A } \underset{x=1,2,\dots} {\underline{\text{fin}}} \frac {\sum\limits_{n=1}^{h_{\mathfrak A } - 1 }A_n (x) }x \leqq h_{\mathfrak A } - \sum\limits_{n=1}^{h_{\mathfrak A^{-1}}} \delta (\mathfrak A_n), \] (\(\mathfrak A_n = n \mathfrak A \)), falls \(h_{\mathfrak A }\) existiert; ferner \(\lambda_{\mathfrak A} \geqq h_{\mathfrak A } - (h_{\mathfrak A } -1) \delta ((h_{\mathfrak A } -1) \mathfrak A)\). Schließlich ist dann und nur dann \(\lambda_{\mathfrak A } = h_{\mathfrak A }\), wenn \(\delta ((h_{\mathfrak A } -1) \mathfrak A) = 0\) ist.