Two estimates connected with the \((\alpha, \beta)\)-hypothesis. (Q2579878)

Es seien \(\mathfrak A\) und \(\mathfrak B\) Mengen nicht negativer ganzer Zahlen, \(\mathfrak C\) ihre Summe, \(A (x)\), \(B (x)\), \(C (x)\) in bekannter Bezeichnungsweise die Anzahlen der Elemente \(\leqq x\). Im Hinblick auf die bekannte Vermutung über die Dichte von \(\mathfrak C\) (\(\gamma \geqq \alpha + \beta\), \(\alpha = \delta (\mathfrak A )\), \(\beta = \delta (\mathfrak B )\), \(\gamma = \delta (\mathfrak C )\)), gibt Verf. zwei Abschätzungen für \(C (n)\). Man bestimme nämlich die ganzen Zahlen \(g_i\), \(k_i\) folgendermaßen: \(g_0 = 0 \leqq k_0 < g_1 < k_1 < g_2 < k_2 < \cdots\), \(\{g_i + 1,\dots, k_i\} \subset \mathfrak C\), aber kein Element aus \(\{k_i+1, \dots g_{i+1}\}\) sei in \(\mathfrak C\). Man setze noch \(\varGamma (x) = A(x)+ B (x)\). Für jedes ganze \(n\) mit \(k_i \leqq n \leqq g_{i+1}\) folgt aus \(C (n) < \varGamma (n)\), so beweist Verf., \[ C(n) \geqq \varGamma (l) + \varGamma (n-l-1) - (i-2), \qquad l + 1 \leqq k_i, \] \(l +1\) enthalten im Durchschnitt von \(\mathfrak A\), \(\mathfrak B\). Das zweite Theorem lautet: Es sei \(n +1 \not \in \mathfrak C\), \(C (n) < \varGamma (n)\); dann gibt es ein \(m < n\) mit \(m + 1 \not \in \mathfrak C\), \(n - m \in \mathfrak A\), so daß \[ \begin{multlined} (C(n) -C(n - m)) + (C(n) - C(m +1)) \\ \geqq A(m + 1) + A(n - m - 1) + B(n) - (i - 1), \end{multlined} \] wobei jetzt \(i\) gleich der Anzahl der Zahlen \(r \leqq n\) ist, für die \(r + 1 \not \in \mathfrak B\), aber \(r \in \mathfrak B\) ist. Die Beweise sind elementar.