The distribution of the number of summands in the partition of a positive integer. (Q2579884)

Es sei \(p (n)\) die Anzahl der Zerlegungen der natürlichen Zahl \(n\) in positive Summanden, und es sei \(p_k (n)\) die Anzahl der additiven Zerlegungen von in \(n\) höchstens \(k\) positive Summanden. Die Verf. beweisen: 1) Für \[ k= C^{-1} n^{\tfrac 12} \log\, n + xn^{\tfrac 12}, \quad C = \pi \sqrt{\dfrac 23},\quad -\infty < x< + \infty \] ist \[ \lim_{n\to \infty} \frac {p_k (n)}{p(n)} = e^{-2C^{-1} e^{-\tfrac 12 Cx}} . \] Speziell gilt: Falls \(f(n)\) eine beliebige mit \(n\) nach \(\infty\) strebende Funktion ist, so liegt die Anzahl der Summanden in ``fast allen'' additiven Zerlegungen von \(n\) in positive Summanden zwischen den beiden Zahlen \[ n^{\tfrac 12} C^{-1} \log\, n - n^{\tfrac 12} f (n) \quad \text{und}\quad n^{\tfrac 12} C^{-1} \log\, n + n^{\tfrac 12} f (n). \] 2) Es gilt ein ähnlicher Satz für die Zerlegung von \(n\) in ungleiche Summanden. 3) Für \(k < Kn^{\tfrac 12}\) gilt gleichmäßig in \(k\) eine asymptotische Formel \[ p_k (n) \sim \frac 1{k!} \binom {n-1}{k-1}. \]