Über die Verteilung der Primzahlen. I. (Q2579899)

Verf. macht folgende (unbewiesene) Annahme: Es gibt eine absolute Konstante \(c_1\), derart, daß für \(n \geqq c_1\) und für \(z_1 = 1\), \(|z_2| \leqq 1. \dots, |z_n| \leqq 1\) folgende Ungleichung gilt: \[ \underset{n^{\frac 32} (1 - n^{-0,42}) \leqq \nu \leqq n^{\frac 32}} {\text{ Max }} |z_1^\nu + z_2^\nu + \cdots + z_n^\nu| > e^{-n^{0,09}}. \] Unter dieser Annahme beweist Verf. die Ungleichung \[ N(a, T) \leqq T^{2(1 - a)} e^{13 \log^{0,18}T} \tag{1} \] gleichmäßig für \(\frac 12 \leqq a \leqq 1\), \(T \geqq c_2\) wo \(c_2\) eine absolute Konstante ist und \(N(a, T)\) die Anzahl der Nullstellen \(s = \sigma + it\) der Riemannschen \(\zeta\)-Funktion im Gebiet \(\sigma \geqq a\), \(0 < t \leqq T\) ist. Aus (1) leitet er für die Primzahlfunktion \(\pi(x)\) mit Methoden von \textit{Hoheisel} und \textit{Ingham} die Formel \[ \pi (x + \sqrt{x} \cdot e^{\log\,0,996 x}) - \pi(x) \sim \dfrac{\sqrt{x}}{\log\,x} e^{\log\,0,996 x} \] ab. Dies ist im wesentlichen die Formel, die von \textit{Ingham} (Quart. J. Math. (Oxford. Ser. 8 (1937), 255-266; F. d. M. \(63_{\text{II}}\), 903) unter Annahme der Lindelöfschen Vermutung bewiesen wurde. -- Weiter beweist Verf. die Ungleichung (1) gleichmäßig für \(\frac 12 \leqq a \leqq 1 - \varepsilon\) unter einer etwas schwächeren Annahme und beweist zwei Resultate in der Richtung dieser letzteren Annahme. Bemerkung: Der Satz von Ingham wird vom Verf. auf S. 83 falsch zitiert. Hier muß ``\(\vartheta > \dfrac 1b\)'' durch ``\(\vartheta > 1 - \dfrac 1b\)'' ersetzt werden.