Über die Anzahl der Produktdarstellungen der positiven ganzen Zahlen. (Q2579906)

Es bezeichne \(f(n)\) die Anzahl der Darstellungen der natürlichen Zahl \(n\) als Produkt von ganzen Zahlen größer als Eins unter Berücksichtigung der Anordnung, \(f(1) = 1\). Wird die Anzahl \(k\) der Faktoren vorgeschrieben, so sei die entsprechende Anzahlfunktion \(f_k(n)\). Verf. beweist nun unter Zuhilfenahme der von \textit{E. Hille} [Acta Arith. 2, 134--144 (1936; JFM 62.1149.01; Zbl 0015.10002)] herrührenden, jedoch von Verf. verbesserten Formel \[ \begin{multlined} f(p_1^{\alpha_1} p_2^{\alpha_2} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu}) \\ = 2\left(\sum f\left(\dfrac{n}{p_{i_1}}\right) \sum f\left(\dfrac{n}{p_{i_1} p_{i_2}}\right) + - \cdots + (-1)^{\nu-1} \sum f\left( \frac{n}{p_{i_1} p_{i_2} \cdots p_{i_\nu}}\right)\right) + \mu(n) \end{multlined} \] (\(\mu (n) =\) Möbiussche Funktion), in der die Summation über alle Kombinationen der \(p_\varrho\) zu erstrecken ist, und der Formel \[ f_k(p_1^{\alpha_1} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu} p_{\nu+1}) = kf_k (p_1^{\alpha_1} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu}) + kf_{k-1}(p_1^{\alpha_1} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu}) \] schließlich \[ \begin{multlined} f(p_1^{\alpha_1} \cdots p_\nu^{\alpha_\nu}) = 2^{\alpha_1 - 1} \sum_{n_1 = 0}^{\alpha_2+ \cdots + \alpha_\nu} \sum_{n_2 = 0}^{\alpha_3 + \cdots + \alpha_\nu} \cdots \sum_{n_{\nu-1} = 0}^{\alpha_\nu}\binom{\alpha_1 + n_1}{n_1} \cdots \binom{\alpha_{\nu-1} + n_{\nu-1}}{n_{\nu-1}}\\ \binom{\alpha_2}{n_1 - n_2} \cdot \binom{\alpha_3}{n_2 - n_3} \cdots \binom{\alpha_{\nu-1}}{n_{\nu - 2} - n_{\nu-1}} \binom{\alpha_\nu}{n_{\nu-1}}. \end{multlined} \] Beim Beweis werden die folgenden Formeln mitgewonnen: \[ \sum_{\substack{{\nu_1 + \cdots + \nu_k = \nu+1}\\ \nu_i > 0 }} \frac{(\nu+1)!}{\nu_1! \cdots \nu_k!} = k \sum_{\substack{{\nu_1 + \cdots + \nu_k = \nu} \\ \nu_i > 0 }} \frac{\nu!}{\nu_1! \cdots \nu_k!} + k\sum_{\substack{{\nu_1 + \cdots + \nu_{k-1} = \nu} \\ \nu_i > 0 }} \frac{\nu!}{\nu_1! \cdots \nu_{k-1}!}, \] \[ \sum_{k=1}^{\nu+1} \sum_{\nu_1 + \cdots + \nu_k = \nu+1} \frac{(\nu+1)!}{\nu_1! \cdots \nu_k!} = \sum_{k=1}^\nu (2k + 1) \sum_{\nu_1 + \cdots + \nu_k = \nu} \frac{\nu!}{\nu_1! \cdots \nu_k!}, \quad \nu_i > 0, \] \[ \sum_{r=0}^{\left[\tfrac b2\right]} (-1)^r \binom br \binom{a + 2b - 2r}{a+b} = \sum_{n=0}^b \binom{a+n}{n} \binom bn, \] \[ \sum_{r=0}^n (-1)^r \binom{a+b-r}{a+b-n} \binom{b-n}{r} = \binom{a+n}{n}. \] Außerdem werden für die Fälle \(n = p_1p_2 \cdots p_\nu\), und \(n = p_1^{\alpha_1} p_2 \cdots p_\nu\) Abschätzungsformeln gegeben, die besser sind, als die Ergebnisse, die sich aus der Hilleschen (s. o) Abschätzungsformel ergeben: \[ f(p_1 p_2 \cdots p_\nu) \leqq \nu^{\nu-1} + (\nu -1)(\nu-1)! \quad\text{(Gleichheitszeichen nur für }\nu = 1, 2, 3), \] \[ f(p_1^{\alpha_1} p_2 \cdots p_\nu) \leqq \alpha \nu^{\nu + \alpha -2} \quad\text{(Gleichheitszeichen nur für }\nu = \alpha = 2). \]