Approximation komplexer Zahlen durch Zahlen \(K(i \sqrt{11})\). (Q2579937)

Bei der Approximation komplexer Zahlen \(\alpha\) durch Zahlen \(\dfrac pq\) (\(p, q\) ganz aus \(K(i \sqrt m)\) von der Art \[ \left| \alpha - \dfrac pq \right| < \dfrac{c}{q^2} \] hat \textit{Oppenheim} (Mh. Math. Physik 46 (1937), 196; F. d. M. \(63_{\text{I}}\), 151) für \(c\) eine obere Schranke erhalten, die für \(m = 11\) den Wert \(\sqrt{\dfrac{11}{8}} \sim 1,173\) liefert. Verf. drückt in dem Spezialfall diese obere Schranke herab, indem er zeigt: Es gibt unendlich viele Zahlen \(p, q\) (ganz aus \(K(i \sqrt{11})\)), so daß die Ungleichung gilt \[ \left| \alpha - \dfrac pq \right| < \sqrt{\dfrac{50}{51}} \cdot \dfrac{1}{q^2} \sim \dfrac{1}{q^2} \cdot 0,990. \] Damit ist die scharfe Schranke, die vermutlich \(\dfrac{1}{\root 4 \of{5}} \sim 0,67\) beträgt, noch nicht erreicht. Dieser Hauptsatz läßt sich auf 3 Seiten aus einem Hilfssatz folgern, der einem z. B. von \textit{Perron} im Fall \(m = 1\), (Math. Ann., Berlin, 103 (1930), 533-544; 105 (1931), 160-164; F. d. M. \(56_{\text{II}}\), 896; \(57_{\text{I}}\), 242) benutzten Hilfssatz über Cassinische Kurven analog ist. Verf. beweist nämlich: Ist \(\dfrac{2}{11} \leqq |a| \leqq \dfrac{256}{961}\), so gibt es zu jeder komplexen Zahl \(\zeta\) eine homologe Zahl \(z = x + iy\) (d. h. \(\zeta - z\) ganz in \(K(i\sqrt{11}))\), so daß die Ungleichung gilt \[ |z^2 - a|^2 < \dfrac{463}{625} + \dfrac{|a|}{2} + 2|a|^2. \] Wegen der erforderlichen Fallunterscheidungen für verschiedene Intervalle von \(x, y, \Re a, \Im a\) ist der weitaus größte Teil der Arbeit dem Beweis dieses Hilfssatzes gewidmet. Der Ansatz ist derselbe wie bei Perron.