Représentation conjointe de l'ordination et de l'énumération d'un ensemble dénombrable, par un nombre ou par une figure plane. (Q2579970)

Nachdem Verf. zuerst an einige wichtige Begriffe in der Theorie der geordneten Mengen erinnert hat, erwähnt er den bekannten Satz, daß die Menge aller abzählbaren abgeschlossenen Ordnungstypen mit nur einseitigen Limeselementen die Mächtigkeit des Kontinuums hat. Danach gibt er eine Zuordnung einer reellen Zahl zu jeder gegebenen Anordnung und Abzählung der Elemente \(\vartheta_n\) einer abzählbaren Menge. Ist \(a_n\) die Anzahl der Vorgänger von \(\vartheta_n\) unter den Elementen \(\vartheta_0, \dots, \vartheta_{n-1}\), so ist \(\xi = \sum\limits_{n=0}^\infty \dfrac{a_n}{(n+1)!}\) die zugeordnete reelle Zahl. Weiter gibt er eine geometrische Darstellung. Hat \(\vartheta_n \, \alpha_{n, p}\) \ Vorgänger unter den Elementen \(\vartheta_0, \dots, \vartheta_p\), so verbindet er in der \(i, \alpha_{n, i}\)-Ebene zwei Punkte mit den Abszissen \(i\) und \(i + 1\) mit einer geraden Strecke parallel \(Oi\), wenn \(a_{i+1} > \alpha_{n, i}\), und mit der Neigung \(45^0\) aufwärts, wenn \(a_{i+1} \leqq \alpha_{n, i}\). Dem Elemente \(\vartheta_n\) entspricht dann eine polygonale Linie \(L_n\), die im Punkte \((n, a_n)\) anfängt. Ist \(p \neq q\), so verlaufen \(L_p\) und \(L_q\) getrennt. Die Anordnung der Elemente \(\vartheta_n\) wird durch die verschiedenen Höhen der \(L_n\) angegeben und ihre Abzählung durch die Abszissen der Anfangspunkte. Die \(\vartheta_n\) sind dann und nur dann wohlgeordnet, wenn das System der \(L_n\) drei einfache geometrische Eigenschaften hat. Zum Schlüsse erklärt Verf., wie man die Darstellungen von abzählbar unendlich vielen solchen Mengen zu einer Darstellung ihrer Vereinigung verschmelzen kann.