A system of axiomatic set theory. II. (Q2579973)

In diesem zweiten Teil [Teil I, J. Symb. Log. 2, 65--77 (1937; JFM 63.0028.01)] seiner axiomatischen Begründung der Mengenlehre führt Verf. die Begriffe Funktion und eineindeutige Zuordnung als Klassen von Paaren ein. Das Auswahlaxiom wird dann so formuliert: Jede Klasse von Paaren enthält eine Funktion als Unterklasse. Ist eine Klasse eine Menge, so gilt das für jede Unterklasse. Weiter stellt Verf. Axiome auf, die dem Ersetzungsaxiom Fraenkels, dem Axiom der Vereinigungsmenge und dem der Potenzmenge entsprechen. Außerdem verlangt er das Unendlichkeitsaxiom und das ``restriktive'' Axiom, daß keine nichtleere Klasse \(A\) existiert, derart, daß jedes Element von \(A\) ein Element mit \(A\) gemein hat. Auf dieser Grundlage entwickelt er die Theorie der Ordnungszahlen, wobei eine Ordnungszahl definiert wird als eine transitive Menge derart, daß \(a \in b\) oder \(b \in a\) gilt für zwei beliebige ihrer Elemente. Unter Einschränkung auf die endlichen Ordnungszahlen gelangt er danach zu den Prinzipien der Zahlentheorie, indem er den Satz der vollständigen Induktion und die Existenz der durch Rekursion definierten Funktionen beweist. Zum Schlusse entwickelt er die grundlegenden Tatsachen der Theorie der endlichen Mengen.