L'axiome du choix et l'hypothèse du continu. (Q2579975)

In diesem Vortrag bespricht Verf. mehrere Folgerungen des Zermeloschen Auswahlaxioms und der Cantorschen Kontinuumhypothese. Viele aus dem Auswahlaxiom ableitbare Sätze sind mit diesem Axiom gleichwertig. Solche Sätze sind: Der Wohlordnungssatz Zermelos, der Satz von Hartogs über die Vergleichbarkeit zweier beliebiger Kardinalzahlen, die Gültigkeit der Gleichung \(m^2 = m\) für jede transfinite Kardinalzahl sowie der Implikation \((m < n) \;\& \;(p < q) \to (m + p < n + q)\) für beliebige Kardinalzahlen. Einige paradox erscheinende Folgerungen werden erwähnt, z. B. die Möglichkeit, eine Kugel so in 9 Teile zu zerlegen, daß diese Teile durch eine passende Bewegung in zwei mit der ersten kongruente Kugeln übergehen: Ein mit der Cantorschen Kontinuumhypothese gleichwertiger Satz ist der folgende: Die Menge aller Punkte einer Ebene ist die Summe zweier Mengen, von denen die eine auf jeder zur Ordinatenachse, die andere auf jeder zur Abszissenachse parallelen Geraden höchstens abzählbar ist. Zwei besonders wichtige Folgerungen dieser Hypothese, die zusammengenommen mit ihr gleichwertig sind, lauten: Es gibt eine Menge der Mächtigkeit des Kontinuums, die keine nicht-dichte nichtabzählbare Untermenge enthält; ebenso gibt es eine Menge derselben Mächtigkeit, die keine nichtabzählbare Untermenge vom Maße Null enthält. Zum Schlüsse bespricht Verf. die verallgemeinerte Cantorsche Kontinuumhypothese, die mit der Gleichung \(\aleph_{\alpha+1} = 2^{\aleph_\alpha}\) äquivalent ist. In der auf den Vertrag folgenden Diskussion sprachen Bernays, Burckhardt, Enriques, Fréchet, Finsler, Gonseth, Kérékjártó, Lebesgue, Mazurkiewicz, Sierpiński. Lebesgue warnte vor einem uneingeschränkten Gebrauch des Auswahlprinzips. Bernays fragte, ob es nicht möglich wäre, eine genauere Beschreibung des Bereiches zu geben, in dem man das Prinzip benutzen dürfte; er schlug vor, daß man sich auf die Zahlenreihe oder auch auf das Kontinuum beschränken sollte. Finsler meinte, daß ein solcher Bereich für die Mathematik zu eng wäre. Lebesgue betonte, daß es nicht genügte zu wissen, daß etwas existiert oder widerspruchsfrei ist, man müßte es auch verstehen und nützlich machen können. Die weitere Diskussion betraf wesentlich die Haltung der arbeitenden Mathematiker dem Auswahlprinzip gegenüber.