Sulle famiglie di insiemi. (Q2579979)

Es sei \(\mathfrak g\) ein System von Mengen in der \(x\), \(y\)-Ebene. Verf. bezeichnet als eine Häufungsmenge von \(\mathfrak g\) jede Menge \(\mathfrak H\) mit folgender Eigenschaft: Zu beliebigem \(\varepsilon > 0\) gibt es Mengen \(\mathfrak M \in \mathfrak g\), so daß \(\mathfrak M\) in der \(\varepsilon\)-Umgebung von \(\mathfrak H\) enthalten ist und \(\mathfrak H\) in der \(\varepsilon\)-Umgebung von \(\mathfrak M\). Es wird gezeigt: Jedes System von gleichmäßig beschränkten Mengen besitzt mindestens eine (abgeschlossene) Häufungsmenge (Bemerkung des Ref.: Wie aus der Definition der Häufungsmenge ersichtlich, ist dieses Ergebnis enthalten in dem bekannten Satze, daß jede Folge nichtleerer Mengen eines Kompaktum eine metrisch konvergente Teilfolge enthält. Vgl. z. B. \textit{Alexandroff-Hopf}, Topologie I (Berlin 1935; F. d. M. \(61_{\text{I}}\), 602), S. 115). Daraus ergibt sich: Es sei \(\mathfrak F\) ein System gleichmäßig beschränkter, gleichgradig stetiger Funktionen \(f(x, y)\), deren Definitionsbereiche gleichmäßig beschränkt sind. Dann existiert mindestens eine abgeschlossene Menge \(\mathfrak M_0\) und eine auf \(\mathfrak M_0\) stetige Funktion \(f_0(x, y)\) derart, daß \(f_0\) auf \(\mathfrak M_0\) Häufungsfunktion von \(\mathfrak F\) ist. -- Die Sätze gelten allgemein im \(R_n\) mit \(n \geqq 2\) (und noch allgemeiner (der Ref.)).