Interval-functions. (Q2579998)

Auf einer Menge \(T\) offener Intervalle des linearen Kontinuums sei eine reelle Intervall-Funktion \(\varphi(I)\) gegeben, und es sei \(K\) der Kern von \(T\), d. h. die Menge der Punkte, die zu beliebig kleinen Intervallen aus \(T\) gehören. Verf. definiert jetzt auf \(K\) eine im allgemeinen mehrwertige Funktion \(\varphi(x)\) auf folgende Weise: Wenn \(\xi \in K\) und wenn \(\{I_n\}\) eine Teilfolge aus \(T\) ist, für die \(\xi \in I_n\), wobei die Länge von \(I_n\) gegen Null strebt und der Grenzwert \(\lim\limits_{n \to \infty} \varphi (I_n) = \eta\) vorhanden ist (endlich oder unendlich), dann sei \(\eta\) ein Wert von \(\varphi(x)\) für \(x = \xi\). Weiter setzt Verf. \(E(x) =\) obere Grenze \(\varphi(x)\), \(e(x) =\) untere Grenze \(\varphi(x)\). \ \(E(x)\) nennt man den oberen Kern, \(e(x)\) den unteren Kern von \(\varphi(x)\); gilt \(E(x) \equiv e(x) \equiv \varphi(x)\), so heißt \(\varphi(I)\) konvergent und \(\varphi(x)\) ist ihr Kern. Der untere Kern ist Linies einer monoton abnehmenden Folge von nach oben halbstetigen Funktionen, und entsprechendes gilt für \(E(x)\). Wenn \(\varphi(I)\) konvergiert, ist ihr Kern \(\varphi(x)\) Limes einer Folge stetiger Funktionen. Alle diese Resultate können umgekehrt werden. Weiter beweist Verf., ohne Benutzung des Baireschen Satzes, daß der Kern einer konvergenten Intervallfunktion punktiert unstetig ist auf jeder perfekten Menge; und umgekehrt, daß eine auf einem offenen Intervall \(I\) gegebene auf jeder perfekten Teilmenge \(S \subset I\) punktiert unstetige Funktion Kern einer konvergenten Intervallfunktion ist. Diese Resultate liefern einen neuen Beweis des Baireschen Satzes.