Maß- und Integrationstheorie in Strukturen. (Q2580012)

Verf. gibt einen bemerkenswerten Neuaufbau der Meßbarkeitslehre in ``Strukturen'', d.h. Somenmannigfaltigkeiten. Die Darstellung wird dem Parallelismus zwischen äußerem und innerem Maß soweit wie überhaupt möglich gerecht, weicht aber in wesentlichen Punkten von der bekannten Arbeit \textit{A. Rosenthals} (Nachr. Ges. Wiss. Göttingen, math.-phys. Kl. 1916, 305-321; F. d. M. 46, 290 (JFM 46.0290.*)) ab. Ich gebe im folgenden kurz die Axiomatik wieder, wobei ich Axiome, die einen vorläufigen Charakter tragen und später durch andere ersetzt werden, übergehe, mich aber der Numerierung des Verf. anschließe. Als Grundrelation zwischen Somen wird \(a \subset b\), d. i. ``\(a\) ist Teil von \(b\)'' betrachtet. Axiom l fordert die Reflexivität und Transitivität der Teilrelation. Summe und Produkt (Durchschnitt) lassen sich dann definieren, die Axiome 2 und 3 fordern ihre Existenz. Nach Axiom 4 gibt es ein leeres Soma (0), nach 5 (das aber meist unnötig ist) ein größtes Soma (1). \(6_{\text{a}}\) fordert das Distributivgesetz \(ac + bc=(a+b)c\), \(7_{\text{b}}\) die Existenz des Komplements \(b-a\) (wenn \(a\subset b\)). Damit ist die Axiomatik der Strukturen aufgebaut, soweit sie für \textit{beschränkt additive} Maße nötig ist. Derartige Maße werden nun, ausgehend von einer reellwertigen Somenfunktion \(m^0(x)\) betrachtet, wobei die Meßbarkeit wie in \textit{Carathéodorys} Somentheorie (S.-B. math.-naturw. Abt. Bayer. Akad. Wiss. 1938, 27-69; JFM 64.0189.*) definiert wird. Axiom I\(^{\text{b}}\) fordert die Existenz eines Somas mit endlichem \(m^0(a) \neq 0\). Axiom III fordert, daß \(m^0(a) \leqq m^0(b)\), wenn \(a \subset b\), IV, daß zu jedem Soma mit endlichem \(m^0(a)\) ein meßbares Soma \(b\) mit endlichem Maß existiert, sodaß \(a \subset b\). Diese drei Axiome gelten für innere wie für äußere Maße. Durch V bzw. V\('\) erfolgt die Unterscheidung; sie lautet: wenn \(m^0(a)\) endlich ist, ist es obere (untere) Grenze von \(m^0(x)\) für alle in \(a\) enthaltenen (\(a\) enthaltenden) Somen \(x\). Zu jedem äußeren Maß gibt es ein ``adjungiertes'' inneres und umgekehrt. Um den Übergang zu \textit{totaladditiven} Maßen zu ermöglichen, müssen die Axiome 3, \(6_{\text{a}}\) der Strukturtheorie für abzählbar viele Somen ausgesprochen werden \((\overline{3}, \overline{6}_{\text{a}}\)). Eine Maßfunktion heißt dann ``totaladditiv\(^*\)'', wenn aus \(a_n\subset a_{n+1}\), \(\sum a_j=a\), alle \(a_j\) und \(a\) meßbar, \(m^0(a)\) endlich, stets \(\lim m^0(a_n) = m^0(a)\) folgt. Axiom VI fordert die Meßbarkeit einer Summe von abzählbar vielen meßbaren Somen. Ersetzt man weiter Axiom V bzw. V\('\) durch VII bzw. VII\('\): für jede Folge \(a_n\subset a_{n+1}\), \((b_n\supset b_{n+1})\) mit \(a=\sum a_j\) \((b=\prod b_j\)) und endlichem \(m^0(a)\) (\(m^0(b)\)) gilt \[ \lim m^0(a_n) = m^0(a) \quad (\lim m^0(b_n) = m^0(b)), \] und fügt das Axiom VIII hinzu, welches für paarweise fremde meßbare Somen mit \(m^0(\sum a_j) = \infty\) fordert, daß auch \(\sum m^0(a_j) = \infty\), so ist die Axiomatik der totaladditiven Maßfunktionen abgeschlossen. Nur das Axiom VIII entspricht nicht der Symmetrie zwischen äußerem und innerem Maß, die ja nach Rosenthal (a. a. O.) keine vollständige ist. Schließlich wird das Integrationsproblem behandelt; bereits die Axiome 1 -- 4, 6, 7 sowie I\(^{\text{b}}\), II, III, d. h. beschränkte Additivität des Maßes reichen zur Definition von Riemann-Stieltjes-Integralen aus. Nimmt man V dazu, so ist eine zweite Integraldefinition möglich, die bereits der Lebesgue-Stieltjesschen analog ist und in sie übergeht, wenn das Maß total-additiv, d. h. das volle Axiomensystem 1, 2, \(\overline{3}\), 4, \(\overline{6}_{\text{a}}\), \(7_{\text{b}}\), I\(^{\text{b}}\), III, V, VI, VII in Kraft ist.