An unsymmetric Fubini theorem. (Q2580028)

Verf. beweisen ein Theorem über iterierte Stieltjes-Integrale, das im Gegensatz zum bereits bekannten symmetrischen Analogon des Fubinischen Satzes über Lebesguesche Integrale unsymmetrisch gebaut ist und, wenn auch in der Literatur schon gelegentlich angewandt, noch nicht bewiesen wurde. Es sei \(k(x)\) in jedem endlichen Intervall von beschränkter Schwankung, \(p (x,u)\) hinsichtlich beider Veränderlicher im Borelschen Sinn meßbar, außerdem als Funktion von \(u\) in jedem endlichen \(u\)-Intervall von beschränkter Schwankung, und zwar für fast alle \(x\) bzgl. \(k(x)\). Mit \(V(x,u) = \int\limits_{0+0}^{u+0}|d_v p(x,v)|\) werde die Variation von \(p(x,u)\) bezeichnet, von der angenommen werde, daß \(\int\limits_{-\infty}^{\infty}f V (x, u)\, |dk(x)|\) für alle \(u\) existiere. \(s (u)\) sei schließlich im Bereich \(-\infty < u < \infty\) Borel-meßbar. Unter diesen Voraussetzungen gilt: Von den Integralen \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} |s(u)|\,d_u \int\limits_{-\infty}^{\infty} V(x,u)\,|dk(x)|, \qquad \int\limits_{-\infty}^{\infty} |dk(x)| \int\limits_{-\infty}^{\infty}|s(u)| \cdot |d_u p(x,u)| \] bedingt die Existenz des einen die Existenz des anderen und ihre Gleichheit, sowie das Vorhandensein und die Gleichheit der folgenden Integrale: \[ \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(u) d_{u} \int\limits_{-\infty}^{\infty} p(x,u)\,dk(x)= \int\limits_{-\infty}^{\infty} dk(x) \int\limits_{-\infty}^{\infty} s(u) \,d_u p(x,u). \] Der Beweis, der das bereits bekannte symmetrische Fubini-Theorem für unendliche Grenzen benützt, wird zunächst unter zusätzlichen Annahmen über die auftretenden Funktionen geführt, die dann schrittweise wieder fallengelassen werden.