Sur la démonstration de quelques théorèmes classiques du calcul différentiel. (Q2580047)

Die Verf. nennen ein Intervallschachtelungsverfahren \textit{konstruktiv}, wenn bei jedem neuen Schritt das Teilintervall, das weiterhin betrachtet werden soll, eindeutig dadurch festgelegt ist, daß man bei endlich vielen Ungleichungspaaren der Form \(f(x)\geqq\alpha\), \(f (x) < \alpha\) (oder auch \(f(x) >\alpha\), \(f (x)\leqq\alpha\)) zu entscheiden hat, welche der beiden Ungleichungen gilt. Ein Beweis, bei dem nur solche Intervallschachtelungen vorkommen, heißt dann auch konstruktiv. In diesem Sinne ist der übliche Beweis für den Bolzanoschen Zwischenwertsatz, daß eine in \(\langle a,b\rangle\) stetige Funktion \(f(x)\) jeden Wert zwischen \(f (a)\) und \(f(b)\) annimmt, konstruktiv. Die üblichen Beweise dafür, daß eine in \(\langle a,b\rangle\) beschränkte, bzw. stetige Funktion dort eine obere Grenze, bzw. ein Maximum hat, sind nicht konstruktiv. Dasselbe gilt dann von denjenigen Beweisen des Rolleschen Satzes und des damit gleichwertigen Mittelwertsatzes der Differentialrechnung, die den Weierstraßschen Satz von der Existenz eines Extremums benutzen. Die Verf. geben konstruktive Beweise für den Fundamentalsatz der Integralrechnung und den Rolleschen Satz. Mittels eines einfachen Verfahrens fortgesetzter Intervallhalbierung beweisen sie zunächst Theorem 1: Ist \(f (x)\) in \(\langle a,b \rangle\) stetig, \(f' (x)\) in \((a, b)\) vorhanden, und gibt es zwischen \(a\) und \(b\) ein \(c\), so daß \[ [f(c)-f(a)][f(c)-f(b)] >0, \] so gibt es zwischen \(a\) und \(b\) auch zwei Stellen \(\xi\) und \(\eta\), so daß \(f'(\xi)<0\), \(f'(\eta)>0\). Anwendung dieses Theorems auf eine Hilfsfunktion liefert Theorem 2: Ist \(f(x)\) in \(\langle a,b\rangle\) stetig, \(f' (x)\) in \((a,b)\) vorhanden, so gibt es zwei Stellen \(\xi\) und \(\eta\) zwischen \(a\) und \(b\), so daß \[ f'(\xi) \leqq \dfrac{f(b) -f(a)}{b-a} \leqq f'(\eta). \] Hieraus folgen sofort der erwähnte Fundamentalsatz: Ist \(f (x)\) in \(\langle a, b\rangle\) stetig, \(f' (x)\) in \((a, b)\) vorhanden und identisch gleich Null, so ist \(f (x)\) konstant, und die Sätze über den Zusammenhang zwischen Monotonie von \(f (x)\) und dem Vorzeichen von \(f' (x)\). Mühsamer ist der konstruktive Beweis des Rolleschen Satzes, der unter Weglassung trivialer Ausnahmefälle in folgender allgemeinerer Fassung bewiesen wird: Ist \(f' (x)\) in \((a, b)\) vorhanden, und gibt es ein \(c\) zwischen \(a\) und \(b\), so daß \[ [f(c)-f(a)] [f(c)-f(b)]>0, \] ist also \(f(x)\) in \(\langle a, b\rangle\) nicht konstant und nicht monoton, so gibt es zwischen \(a\) und \(b\) eine Stelle \(\xi\), wo \(f' (\xi) = 0\) ist. Der Beweis läuft darauf hinaus, daß die Verf. drei Folgen von (rationalen) Zahlen \(\{a_n\}\), \(\{b_n\}\), \(\{c_n\}\) d. h. eine Folge von Intervallen \(\langle a_n,b_n\rangle\) mit Teilpunkt \(c_n\) so konstruieren, daß \[ \begin{gathered} a< a_0\leqq a_1 \leqq \cdots \leqq a_n < c_n < b_n \leqq \cdots \leqq b_1\leqq b_0 < b,\\ b_n-a_n \to 0,\quad f(c_n)\geqq f(a_n),\quad f(c_n)\geqq f(b_n),\quad f(c_{n+1}) \geqq f(c_n). \end{gathered} \] Daß \(f' (\xi) = 0\) an der Stelle \(\xi=\lim a_n=\lim b_n = \lim c_n\), ist dann leicht zu zeigen. Bei der Konstruktion der Zahl \(\xi\) wird nur die Kenntnis der Werte von \(f (x)\) selbst, nicht aber die Kenntnis der Werte der Ableitung \(f' (x)\) benötigt. Über die Güte der Approximation der Zahl \(\xi\) durch die Zahlen \(c_n\) gibt die Ungleichung \[ b_{2k+1} - a_{2k+1} < b_{2k} - a_{2k} < \left(\dfrac23\right)^k (b-a) \] Aufschluß. Ohne Benützung eines weiteren Intervallschachtelungsverfahrens folgt schließlich aus dem Rolleschen Satz der Zwischenwertsatz von Darboux: Ist \(f'(x)\) in \(\langle a,b\rangle\) vorhanden, \(f'(a) \neq f'(b)\) und \(\mu\) ein Wert zwischen \(f'(a)\) und \(f'(b)\), so gibt es eine Stelle \(\xi\) zwischen \(a\) und \(b\), wo \(f'(\xi)=\mu\).