Note on a divergent series. (Q2580105)

Die Funktion \[ G(z) = \int\limits_0^\infty\dfrac{e^{-t}}{1-zt}dt \tag{1} \] hat als einzige endliche Singularität den Nullpunkt. Sie läßt sich darstellen in der Form \[ G(z) = \dfrac{1}{z}e^{-\tfrac{1}{z}}\log\left(-\dfrac{1}{z}\right) + H(z), \] wo \(H(z)\) im Unendlichen regulär ist, und läßt sich danach zerlegen in unendlich viele Zweige, die jeweils in der längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen Ebene eindeutig und regulär sind. Unter diesen Zweigen befindet sich einer, der auf der negativen reellen Achse positiv ist und gegen 1 strebt, wenn \(z\) längs dieser Achse gegen 0 geht. Dieser Zweig werde als Hauptzweig bezeichnet und weiterhin allein unter \(G(z)\) verstanden. Die Reihe \[ \sum\limits_{n=0}^\infty n!z^n \tag{2} \] stellt die asymptotische Entwicklung von \(G(z)\) im Poincaréschen Sinne in der Umgebung des Nullpunkts dar. Verf. stellt sich die Aufgabe, ein Summationsverfahren anzugeben, das die Reihe (2) zur Summe \(G(z)\) summiert. Er bemerkt dazu zunächst, daß das \textit{Borelsche Verfahren} (auch in einer zweckentsprechenden Abwandlung) nur in \(\mathfrak{R}z\leqq 0\) wirksam ist, und zeigt dann, daß eine geeignete Modifikation des \textit{Lindelöfschen Verfahrens} das Gewünschte leistet. Setzt man \(\lambda_0 = \lambda_1 = \lambda_2 = 0\), \(\lambda_n = n\) \(\log\,n\,\log\,\log\,n\) für \(n\geqq 3\) und bezeichnet eine Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty c_n\) als (\(\Lambda\))-summierbar zur Summe \(s\), wenn \[ \lim\limits_{\delta\to 0}\sum\limits_{n=0}^\infty e^{-\delta\lambda_n}c_n = s \] gilt, so besagt das Resultat: Die Reihe (2) ist in der längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen \(z\)-Ebene (\(\Lambda\))-summierbar zur Summe \(G(z)\), und zwar gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teil \(0\leqq |z|\leqq R\), \(\eta\leqq\text{arc } z\leqq 2\pi -\eta\) (mit \(0 < R < \infty\), \(0 < \eta < 2\pi\)) der \(z\)-Ebene. Allgemeiner gilt: Es sei \(f(z) = \sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n\) in der längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen \(z\)-Ebene einschließlich des Nullpunkts regulär, und es gelte für große \(|z|\) mit einem geeigneten \(k\) die Abschätzung \(f(z) = O(|z|^k)\), gleichmäßig in jedem Teil \(\eta\leqq\text{ arc } z\leqq 2\pi -\eta\) der Ebene. Dann ist die Reihe \[ \sum\limits_{n=0}^\infty n!a_nz^n \] in der längs der positiven reellen Achse aufgeschnittenen \(z\)-Ebene (\(\Lambda\))-summierbar zur Summe \[ g(z) = \int\limits_0^\infty e^{-t}f(zt)\, dt, \] und zwar gleichmäßig in jedem abgeschlossenen Teil \(0\leqq |z| \leqq R\), \(\eta\leqq\text{arc } z\leqq 2\pi -\eta\) der Ebene.