Sur l'approximation d'une fonction continue par un opérateur linéaire différentiel d'un polynôme. (Q2580118)

Anknüpfend an eine Fragestellung von \textit{S. Soboleff} sucht Verf. die Bedingungen auf, unter welchen der mit stetigen Koeffizienten \(\varphi_i(x)\) gebildete Differentialoperator \[ D_K\{y(x)\} = \sum\limits_0^K\varphi_i(x)y^{(K-i)}(x) \tag{1} \] die Eigenschaft (kurz: Eigenschaft \(S\)) hat, daß jede im Intervall \((a, b)\) stetige Funktion \(A(x)\) durch Ausdrücke der Form \(D_K\{P(x)\}\), wo \(P(x)\) ein Polynom ist, gleichmäßig approximiert werden kann. Der Operator (1) hat stets die Eigenschaft \(S\) in \((a, b)\), wenn \(\varphi_0(x)\) in \((a, b)\) nirgends verschwindet; dies ist mit Rücksicht darauf, daß die Differentialgleichung \[ D_K\{y(x)\} = A(x) \tag{2} \] in diesem Falle eine samt den ersten \(k\) Ableitungen stetige Lösung hat, einfach einzusehen. Verf. studiert nun die nicht trivialen Fälle, wo der Operator (1) in \((a, b)\) singuläre Stellen, d. h. Punkte, wo \(\varphi_0(x) = 0\), \(\varphi_1(x)\gtrless0\) ausfällt, aufweist. Eine Lösung der Gleichung (2) wird in \((a, b)\) regulär genannt, wenn sie samt den \(k - 1\) ersten Ableitungen dort stetig ist, und wenn in jeder singulären Stelle \(x_0\) gilt: \[ \sum\limits_1^K\varphi_i(x_0)y^{(K-i)}(x_0) = A(x_0). \] Der Operator (1) hat dann und nur dann die Eigenschaft \(S\) in \((a, b)\), wenn (2) für jede stetige Funktion \(A(x)\) eine in \((a, b)\) reguläre Lösung zuläßt (Theorem I); dies ist z. B. dann der Fall, wenn das Intervall nur eine einzige singuläre Stelle enthält (Theorem II). Wenn der Operator (1) in \((a, b)\) nur zwei singuläre Stellen \(x_1\) und \(x_2\), \(x_1 < x_2\), aufweist, so ist notwendig und hinreichend dafür, daß er nicht die Eigenschaft \(S\) hat, daß \[ \left|\int\limits_\xi^{x_1}\dfrac{\varphi_1(t)}{\varphi_0(t)} dt\right|<+\infty, \qquad \left|\int\limits_\xi^{x_2}\dfrac{\varphi_1(t)}{\varphi_0(t)} dt\right|<+\infty, \qquad x_1<\xi<x_2 \] ist, und daß die Gleichung \(D_K\{y(x)\} = 0\) \(K - 1\) unabhängige reguläre Lösungen besitzt (Theorem III). -- Bei zwei singulären Stellen kann dagegen stets jede stetige Funktion gleichmäßig durch Ausdrücke der Form \(C(x-x_1)(xx_2) + D_K\{P(x)\}\) (\(C\) ist eine Konstante, \(P(x)\) ein Polynom) approximiert werden (Theorem IV). Es folgen noch weitere Charakterisierungen. Ein interessantes Musterbeispiel ist der Operator \[ D_1\{y(x)\}=y'(x)x^2\sin\dfrac{1}{x}+y(x). \] (Voranzeige C. R. Acad. Sci. URSS (2) 29 (1940), 532-535; F. d. M. 66, 400 (JFM 66.0400.*).)