Sur l'ordre de grandeur de l'approximation d'une fonction par les moyennes de sa série de Fourier. (Q2580151)

Bezeichne \(\sigma_n^{(\delta)}(x)\) das \(n\)-te \((C,\delta)\)-Mittel der Fourierreihe der nach \(2\pi\) periodischen, stetigen Funktion \(f(x)\), bezeichne ferner \(\bar \sigma_n^{(\delta)}(x)\) das entsprechende Mittel der konjugierten Reihe \(\sim \bar f(x)\). Man setze \[ \varrho_n^{(\delta)}=\,\text{Max}\,|f(x)-\sigma_n^{(\delta)} (x)| \;\text{und} \;\bar \varrho_n^{(\delta)} =\,\text{Max}\,|\bar f(x)-\bar \sigma_n^{(\delta)}(x)|. \] \textit{S. Bernstein} (Acad. Belgique Mém. Gl. Sci. (2) 4 (1912); F. d. M. 45, 633 (JFM 45.0633.*); 42, 435) hat bewiesen, daß der Annäherungsgrad \(\varrho_n^{(1)} =O\left(\dfrac 1{n^\alpha}\right)\) mit \(0 < \alpha < 1\) notwendig und hinreichend ist, damit \(f(x)\) einer Lipschitzbedingung \(\alpha\)-ter Ordnung genüge; für \(\alpha=1\) gilt dagegen nur \(\varrho_n^{(1)}=O(\log n/n)\), und es würde nicht einmal aus \(\varrho_n^{(1)}=O(1/n)\) folgen, daß \(f(x)\) einer Lipschitzbedingung erster Ordnung genügt. Verf. beschäftigt sich mit diesem Sprung im Bernsteinschen Satz und beweist folgendes: Genügt \(f(x)\) einer Lipschitzbedingung erster Ordnung, so gilt \(\bar \varrho_n^{(\delta)}=O(1/n)\) für alle \(\delta > 0\). Gilt umgekehrt \(\bar \varrho_n^{(\delta)}=O(1/n)\) zumindest für alle \(\delta \geqq 1\), so genügt \(f(x)\) einer Lipschitzbedingung erster Ordnung.