Sulla convergenza in media della serie \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_ne^{i\lambda_nx}\). (Q2580160)

Bekannt ist folgender Satz: \(\lambda_n\) sei eine Folge reeller Zahlen mit der Bedingung \[ \lambda_{n+1}-\lambda_n \geqq \delta >0; \tag{1} \] die Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|^2\) sei konvergent (\(a_n\) komplex). Dann konvergiert die Reihe \[ \sum_{n=0}^\infty a_ne^{i\lambda_nx} \tag{2} \] im Mittel gegen eine in jedem Intervall \(a\leqq x \leqq b\) quadratisch integrierbare Funktion \(F(x)\). Ferner ist die Konvergenz in folgendem Sinne gleichmäßig: Es gilt \[ \lim_{N\to \infty}\int\limits_p^{p+1}\left|\sum_{n=0}^N a_ne^{i\lambda_nx}-F(x)\right|^2dx = 0 \] gleichmäßig für jedes \(p\) im Intervall \((-\infty, \infty)\). (\textit{C. Paley}, \textit{N. Wiener}, Trans. Amer. math. Soc. 35 (1933); 348-355, 761-791; JFM 59.0421.*.) Verf. zeigt unter Voraussetzung von (1), daß die Konvergenz von \(\sum\limits_{n=0}^\infty |a_n|^2\) auch notwendig ist für die gleichmäßige Konvergenz im Mittel von (2). Er zeigt weiter, daß die Konvergenz der Reihe \[ \sum_{n=T}^\infty \sum_{m=T}^n \frac {|a_na_m|}{s^2+(\lambda_n-\lambda_m)^2}, \tag{3} \] wo \(T\) positiv ganz und \(s\) positiv ist, hinreichend ist für die gleichmäßige Konvergenz im Mittel von (2). Im Fall \(\lambda_{n+1}>\lambda_n\) kann die Konvergenz von (3) ersetzt werden durch die Konvergenz der Reihen \[ \sum_{n=0}^\infty |a_n|^2 \quad \text{und} \quad \sum_{n=0}^\infty \frac{|a_n|^2+ |a_{n+1}|^2} {\lambda_{n+1}-\lambda_n}. \]