Convergence and divergence of non-harmonic gap series. (Q2580161)

Lückenbedingungen vom Hadamardschen Typus sind in abgerundeter Weise für trigonometrische Reihen \[ \sum_{k=1}^\infty a_ke^{i\lambda_kt} \] mit ganzzahligen \(\lambda_k\), wo die dargestellte Funktion periodisch ist, aufgestellt worden. Für nichtganze \(\lambda_k\) muß die Funktion statt in dem endlichen Periodizitätsintervall auf der ganzen Achse betrachtet werden, was eine wesentliche Erschwerung mit sich bringt. \textit{Satz 1.} Ist \(\sum |a_k|^2\) konvergent und \(\dfrac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k} > q> 1\) (\(\lambda_k>0\)), so konvergiert die Reihe fast überall. \textit{Satz 2.} Ist \(\sum|a_k|^2=\infty\) und \(\dfrac{\lambda_{k+1}}{\lambda_k}\geqq q>\dfrac{1+\sqrt 5}2\), so divergiert die Reihe fast überall.