Su una formula integro-differenziale relativa alle funzioni di Laplace. (Q2580185)

\(P_0\) und \(P\) seien zwei Punkte der Einheitskugel mit den Polarkoordinaten \(\vartheta_0\), \(\varphi_0\), bzw. \(\vartheta\), \(\varphi\), \(\gamma\) der Großkreisbogen \(P_0P\) und \(Y_n\) die Laplacesche Kugelfunktion von der Ordnung \(n\). Verf. beweist die Formel \[ \begin{gathered} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^{2\pi} \left\{Y_n(\vartheta_0,\varphi_0)-Y_n(\vartheta,\varphi) +[\sin \vartheta \cos \vartheta_0 \cos(\varphi-\varphi_0) -\cos\vartheta\sin \vartheta_0] \frac{\partial Y_n(\vartheta_0,\varphi_0)}{\partial \vartheta_0} \right.\\ \left. +\frac{\sin \vartheta\sin(\varphi-\varphi_0)}{\sin\vartheta_0} \frac{\partial Y_n(\vartheta_0,\varphi_0)}{\partial \vartheta_0} \right\} \frac{\sin \vartheta\,d\vartheta\,d\varphi}{(2-2\cos \gamma)^{3/2}}=2\pi n Y_n(\vartheta_0,\varphi_0). \end{gathered} \]