Su di una classe di sviluppi in serie di polinomî di Laguerre. (Q2580189)

In einer voraufgehenden Mitteilung (Boll. Un. mat. Ital. (2) 3 (1940), 109-112; F. d. M. 66, 311 (JFM 66.0311.*)) hatte Verf. die Bedingung \(\varlimsup\limits_{n\to \infty}|a_n|^{\tfrac 1n}<1\) als hinreichend dafür gefunden, daß die Laguerresche Reihe \(\varLambda=\sum\limits_{n=0}^\infty a_n L_n(t)\) eine ganze Funktion vom Exponentialtyp (g. F. v. E.-T.) darstelle. Hier erweist er für diese Beschaffenheit einer Funktion \(\varphi(t)\) als kennzeichnend das Vorhandensein einer Größe \(\alpha>0\) von der Art, daß \(\varlimsup\limits_{n\to \infty} \left| \int\limits_0^\infty e^{-\alpha t}L_n(\alpha t)\varphi(t)\,dt \right|^{\tfrac 1n}< 1\). -- Ist \(\varlimsup\limits_{n\to \infty} |a_n|^{\tfrac 1n}=1\), so konvergiert \(\varLambda\) nicht; als Ersatz gewinnt Verf. folgendes Ergebnis: \(z=1\) sei ein regulärer Punkt der Reihe \(\sum\limits_{n=0}^\infty a_nz^n\). Setzt man dann mit \(\alpha>1\) \[ \alpha^nb_n=\sum_{k=0}^\infty \binom{n+k}ka_{n+k} \left(\frac{\alpha-1}\alpha\right)^k, \] so ist \(\sum\limits_{n=0}^\infty b_nL_n(\alpha t)\) die in jedem endlichen Gebiet der \(t\)-Ebene gleichmäßig konvergente Reihe der g. F. v. E.-T., deren formale Entwicklung \(\varLambda\) ist.