Sviluppo dei polinomi di Laguerre e di Hermite in serie di funzioni di Bessel. (Q2580190)

Herleitung der folgenden Entwicklung der Laguerreschen Polynome \[ L_n^{(\alpha)}(t)=\frac{e^tt^{-\alpha}}{n!} \frac{d^n}{dt^n}(e^{-t}t^{n+\alpha}) \] nach den Besselschen Funktionen \(J_k\): \[ L_n^{(\alpha)}(t)=e^{ht}\frac{\varGamma(\alpha+n+1)}{n!n^\alpha} \sum_{\nu=0}^\infty A_\nu(h)\left(\frac tn\right)^{\tfrac{\nu-\alpha}2} J_{\alpha+\nu}(2\sqrt{nt}), \] wobei \(h\geqq 0\) und die Koeffizienten \(A_\nu(h)\) durch die rekurrente Beziehung \((\nu+1)A_{\nu+1}=[(1-2h)\nu-(\alpha+1)h]A_\nu-[(12h)n+h(h-1)(\alpha+\nu)]A_{\nu-1}+h(h-1)nA_{\nu-2}\) (\(\nu=2\), 3, \dots) und die Anfangswerte \(A_0(h)=1\), \(A_1(h)=-(\alpha+1)h\), \(A_2(h) = \binom{\alpha+2}2h^2+\left(h-\dfrac 12\right)n\) bestimmt sind. Die unendliche Reihe konvergiert absolut und gleichmäßig wenigstens für \(0\leqq t \leqq T < \dfrac n{h^2}\). Den Ausgangspunkt der Überlegungen des Verf. bildet eine asymptotische Formel von \textit{E. Moecklin} (Comment. math. Helvetici 7 (1934), 24-46; JFM 60.0300.*), von der die obige Entwicklung eine weitgehende Verallgemeinerung darstellt. Als Spezialfall werden Hermitesche Polynome behandelt. Ergänzend sei beigefügt, daß für \(h=0\) die obige Entwicklung, abgesehen von einer leichten Gliederumordnung, als Sonderfall in einer von Hermann Schmidt früher aufgestellten Entwicklung der \textit{allgemeinen} Kummerschen Reihe, (also nicht nur der Polynome!) nach Linearkombinationen Besselscher Funktionen enthalten ist: Math. Z. 43 (1938), 533-552 (JFM 64.0264.*), insbesondere \S\ 2 (13) ff.; vgl. auch Fußnote \(^8\)), wo übrigens \textit{rechts} \(\zeta\) und \(\xi\) zu vertauschen sind (Druckfehler).