Some formulae for the \(E\)-function. (Q2580221)

Die \(E\)-Funktionen wurden vom Verf. (s. Proc. R. Soc. Edinburgh 58 (1938), 1-13 (JFM 64.0337.*), S. 3) als komplizierte Integralausdrücke definiert; sie sind Funktionen von einer Variablen \(x\) und \(p+q\) Parametern \(\alpha_r\) (\(r=1\), 2, \dots, \(p\)) und \(\varrho_s\) (\(s=1\), 2, \dots, \(q\)) und werden als \(E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:x)\) geschrieben. Es ist für \(p\geqq q+1\) und \(|x|< 1\): \[ \begin{aligned} &E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:x) \\ =\sum_{r=1}^p&\frac{\prod\limits_{s=1,s\neq r}^p \varGamma(\alpha_s-\alpha_r)}{\prod\limits_{t=1}^q \varGamma(\varrho_t-\alpha_r)}x^{\alpha_r}{}_{q+1}F_{p-1} \left\{ \begin{matrix} \alpha_r,\alpha_r-\varrho_1+1,\ldots,\alpha_r-\varrho_q+1\\ \alpha_r-\alpha_1+1,\ldots *\ldots,\alpha_r-\alpha_p+1 \end{matrix}; (-1)^{p-q}x\right\}, \end{aligned} \] wobei der Stern \(*\) in der hypergeometrischen Reihe \(_{q+1}F_{p-1}\) bedeutet, daß der Term, \(\alpha_r-\alpha_r+1\) auszulassen ist. Für \(p\leqq q+1\) wird (für \(|x|> 0\)): \[ E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:x)=\frac{ \prod\limits_{r=1}^p \varGamma(\alpha_r)}{\prod\limits_{s=1}^q\varGamma(\varrho_s)} {}_pF_q\left(\alpha_r;\varrho_s;-\frac 1x\right); \] für \(p>q+1\) liefert die rechte Seite der letzten Formel eine asymptotische Entwicklung für die \(E\)-Funktion; diese ist im übrigen symmetrisch in \(\alpha_1\), \dots, \(\alpha_p\) und \(\varrho_1\), \dots, \(\varrho_q\), so daß es genügt, einen Satz für \(\alpha_1\) oder \(\varrho_1\) allein anzuschreiben. Es werden zunächst die beiden Integralformeln bewiesen: \[ \begin{gathered} \frac 1{2\pi i} \int\limits_{-\infty}^{(0)+} e^\zeta \zeta^{-\varrho_{q+1}}E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:\zeta x)\,d\zeta = E(p;\alpha_r:q+1;\varrho_s:x) \\ (\text{arg}\,\zeta=0,\;\text{wenn} \;\zeta \;\text{reell und}>0)\\ \int\limits_0^\infty e^{-\lambda} \lambda^{\alpha_{p+1}}E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:\frac x\lambda)\,\frac{d\lambda}\lambda= E(p+1;\alpha_r:q;\varrho_s:x), \end{gathered} \] wobei \(\Re(\alpha_{p+1})> 0\) sein muß. Spezialfälle dieser Formeln sind Sätze über Bessel-Kugel-und konfluente hypergeometrische Funktionen, wie sich aus den Beziehungen \[ \begin{aligned} &E\left(\frac 12+n,\frac 12-n:0;:2\lambda\right) =\frac{\sqrt{2\pi\lambda}} {\cos n\pi}e^\lambda K_n(\lambda), \\ &E\left(\frac 12-k-m,\frac 12-k+m:0;:x\right) =\varGamma\left(\frac 12-k-m\right)\varGamma\left( \frac 12-k+m\right)x^{-k}e^{x/2}W_{k,m}(x)\\ & E\left(4;\frac 12-k+m,\frac 12-k-m,\frac 12-k,1-k:1;1-2k:\frac{x^2}4\right) \\ &\qquad \qquad =2^{2k} \varGamma\left(\frac 12\right)\varGamma\left( \frac 12-k+m\right)\varGamma\left(\frac 12-k-m\right) x^{-2k}W_{k,m}(ix)W_{k,m}(-ix) \end{aligned} \] ergibt. Ferner galten Rekursionsformeln, nämlich: \[ \begin{aligned} E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:x) = &\frac 1{\alpha_1} E(\alpha_1+1,\alpha_2, \ldots,\alpha_p:q;\varrho_s:x) \\ &+\frac 1{\alpha_1x}E(p;\alpha_r+1:q;\varrho_s+1:x), \\ E(p;\alpha_r:q;\varrho_s:x) = &\frac 1{\varrho_1-1} E(p;\alpha_r:\varrho_1-1,\varrho_2, \ldots,\varrho_q:x) \\ &+\frac 1{(\varrho_1-1)x}E(p;\alpha_r+1:q;\varrho_s+1:x). \end{aligned} \]