Einschließungssatz für die charakteristischen Zahlen von Matrizen. (Q2580372)

Es werden folgende Abschätzungen für die Eigenwerte einer Matrix abgeleitet: 1) Ist \(\mathfrak A\) eine \(n\)-reihige quadratische Matrix mit \(a_{ik}\geqq 0\), sind \(u_1\), \dots, \(u_n\) irgendwelche positive Zahlen, so liegt in dem Intervall, das von der größten und der kleinsten der \(n\) Zahlen \(\dfrac 1{u_i}\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}u_k\) begrenzt wird, die größte positive charakteristische Wurzel von \(\mathfrak A\). 2) Ist \(\mathfrak A\) reell und symmetrisch, \(u_1\), \dots, \(u_n\) reell, so liegt in demselben Intervall wie vorhin wenigstens eine charakteristische Zahl von \(\mathfrak A\). 3) Erfüllen dievon Null verschiedenen reellen Zahlen \(u_1\), \dots, \(u_n\) und die reelle Matrix \(\mathfrak A\) eine der beiden Voraussetzungen a) \(u_i>0\); \(a_{ik}\geqq 0\), b) \(a_{ik}=a_{ki}\), ist ferner \(\mathfrak D\) eine Diagonalmatrix mit positiven Elementen \(d_i\) so liegt in dem Intervall, das von der größten und der kleinsten der \(n\) Zahlen \(\dfrac 1{d_iu_i}\sum\limits_{k=1}^n a_{ik}u_k\) begrenzt wird, mindestens eine charakteristische Zahl der Gleichung \(\mathfrak A {\mathfrak x}=\varkappa \mathfrak D {\mathfrak x}\).